ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 217

**а)** $\log_{(x-2)} x \le \log_{(x-2)} 4$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ x - 2 > 0, \\ x - 2 \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x \neq 3 \end{cases} \iff x \in (2; 3) \cup (3; +\infty) $$ 2. Для решения логарифмического неравенства с переменным основанием применим метод рационализации: $$ ((x - 2) - 1)(x - 4) \le 0 $$ $$ (x - 3)(x - 4) \le 0 $$ Решением данного квадратичного неравенства является отрезок: $$ x \in [3; 4] $$ 3. С учётом ОДЗ ($x \neq 3$ и $x > 2$): $$ x \in (3; 4] $$ **Ответ:** $x \in (3; 4]$ --- **б)** $2 \log_{\pi} \sin x \cdot \log_{\pi} \sin 2x - \log_{\pi}^2 \sin 2x \le \log_{\pi}^2 \sin x$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} \sin x > 0, \\ \sin 2x > 0 \end{cases} $$ По формуле синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. С учётом того, что $\sin x > 0$, получаем: $$ 2 \sin x \cos x > 0 \iff \cos x > 0 $$ Система принимает вид: $$ \begin{cases} \sin x > 0, \\ \cos x > 0 \end{cases} $$ Оба условия выполняются в первой координатной четверти: $$ x \in \left(2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. Перенесём все слагаемые исходного неравенства в правую часть: $$ 0 \le \log_{\pi}^2 \sin x - 2 \log_{\pi} \sin x \cdot \log_{\pi} \sin 2x + \log_{\pi}^2 \sin 2x $$ Свернём правую часть по формуле квадрата разности: $$ (\log_{\pi} \sin x - \log_{\pi} \sin 2x)^2 \ge 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, полученное неравенство справедливо при всех $x$ из области допустимых значений. **Ответ:** $x \in \left(2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$