ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 216

**№ 216** Решим неравенство: $$ \frac{\log_{2}{x} - 3}{6\log_{x}{2} - 1} \leqslant 2 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $$ \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1, \\ 6\log_{x}{2} - 1 \neq 0 \end{cases} $$ По формуле перехода к другому основанию $\log_{x}{2} = \frac{1}{\log_{2}{x}}$, поэтому: $$ \frac{6}{\log_{2}{x}} - 1 \neq 0 \iff \log_{2}{x} \neq 6 \iff x \neq 64 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 64) \cup (64; +\infty)$. 2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{2}{x}$. С учетом ОДЗ $t \neq 0$ и $t \neq 6$. Подставим $t$ в исходное неравенство: $$ \frac{t - 3}{\frac{6}{t} - 1} \leqslant 2 $$ Преобразуем знаменатель левой части: $$ \frac{6}{t} - 1 = \frac{6 - t}{t} $$ Тогда неравенство примет вид: $$ \frac{t(t - 3)}{6 - t} \leqslant 2 $$ Перенесем число 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{t^2 - 3t}{6 - t} - 2 \leqslant 0 $$ $$ \frac{t^2 - 3t - 2(6 - t)}{6 - t} \leqslant 0 $$ $$ \frac{t^2 - t - 12}{6 - t} \leqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства и поменяв знаки в знаменателе: $$ \frac{t^2 - t - 12}{t - 6} \geqslant 0 $$ Разложим числитель на множители по формуле $t^2 - t - 12 = (t + 3)(t - 4)$: $$ \frac{(t + 3)(t - 4)}{t - 6} \geqslant 0 $$ 3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов: - Нули числителя: $t = -3$, $t = 4$. - Нуль знаменателя: $t = 6$. Расставим точки на числовой прямой и определим знаки выражения: - на интервале $(-\infty; -3]$ знак «$-$»; - на интервале $[-3; 4]$ знак «$+$»; - на интервале $[4; 6)$ знак «$-$»; - на интервале $(6; +\infty)$ знак «$+$». Неравенству удовлетворяют значения $t \in [-3; 4] \cup (6; +\infty)$. С учетом условия $t \neq 0$ получаем: $$ t \in [-3; 0) \cup (0; 4] \cup (6; +\infty) $$ 4. Выполним обратную замену: 1) При $-3 \leqslant t < 0$: $$ -3 \leqslant \log_{2}{x} < 0 \iff \log_{2}{2^{-3}} \leqslant \log_{2}{x} < \log_{2}{1} \iff \frac{1}{8} \leqslant x < 1 $$ 2) При $0 < t \leqslant 4$: $$ 0 < \log_{2}{x} \leqslant 4 \iff \log_{2}{1} < \log_{2}{x} \leqslant \log_{2}{2^4} \iff 1 < x \leqslant 16 $$ 3) При $t > 6$: $$ \log_{2}{x} > 6 \iff \log_{2}{x} > \log_{2}{2^6} \iff x > 64 $$ Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\left[\frac{1}{8}; 1\right) \cup (1; 16] \cup (64; +\infty)$.