ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 220

Решим неравенство: $$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{|x|} \ge 0 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $$ \begin{cases} x + 1 \ne 0, \\ |x| \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne -1, \\ x \ne 0 \end{cases} $$ Таким образом, $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Раскроем знак модуля, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$: **Случай 1:** $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и неравенство принимает вид: $$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x} \ge 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x + (x + 1)}{x(x+1)} \ge 0 $$ $$ \frac{2x + 1}{x(x+1)} \ge 0 $$ Так как по условию рассматриваемого случая $x > 0$, то: - числитель $2x + 1 > 0$; - множители знаменателя $x > 0$ и $x + 1 > 0$. Следовательно, вся дробь строго положительна при любых $x > 0$. Решением в данном случае является интервал: $x \in (0; +\infty)$. **Случай 2:** $x < 0$ (при этом $x \ne -1$ по ОДЗ). Тогда $|x| = -x$, и неравенство принимает вид: $$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{-x} \ge 0 $$ $$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \ge 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x - (x + 1)}{x(x+1)} \ge 0 $$ $$ \frac{-1}{x(x+1)} \ge 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{1}{x(x+1)} \le 0 $$ Дробь с положительным числителем неположительна тогда и только тогда, когда её знаменатель отрицателен: $$ x(x+1) < 0 $$ Решим это неравенство методом интервалов. Корни знаменателя: $x = -1$ и $x = 0$. Произведение меньше нуля между корнями: $x \in (-1; 0)$. Этот интервал полностью удовлетворяет условию $x < 0$ и входит в ОДЗ. 3. **Объединение решений:** Объединяем решения, полученные в обоих случаях: $$ x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty) $$ Ответ: $(-1; 0) \cup (0; +\infty)$.