ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 214

**214.** **а)** Решим неравенство: $$\frac{\log_{(24-2x-x^2)}(x+6)}{\log_{(4-x)}(24-2x-x^2)} < \frac{1}{4}$$ 1. Разложим квадратный трехчлен на множители: $$24 - 2x - x^2 = -(x^2 + 2x - 24) = -(x + 6)(x - 4) = (x + 6)(4 - x)$$ 2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} x + 6 > 0 \\ 4 - x > 0 \\ 4 - x \neq 1 \\ 24 - 2x - x^2 > 0 \\ 24 - 2x - x^2 \neq 1 \end{cases}$$ - $x + 6 > 0 \implies x > -6$; - $4 - x > 0 \implies x < 4$; - $4 - x \neq 1 \implies x \neq 3$; - $(x + 6)(4 - x) > 0 \implies x \in (-6; 4)$; - $24 - 2x - x^2 \neq 1 \implies x^2 + 2x - 23 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 23 = 0$: $$D_1 = 1 + 23 = 24 \implies x = -1 \pm 2\sqrt{6}$$ Так как $-6 < -1 - 2\sqrt{6} \approx -5{,}9$ и $-1 + 2\sqrt{6} \approx 3{,}9 < 4$, оба этих значения лежат в интервале $(-6; 4)$. Знаменатель дроби $\log_{(4-x)}(24-2x-x^2) \neq 0 \iff 24 - 2x - x^2 \neq 1$, что уже учтено. Таким образом, ОДЗ: $$x \in (-6; -1-2\sqrt{6}) \cup (-1-2\sqrt{6}; 3) \cup (3; -1+2\sqrt{6}) \cup (-1+2\sqrt{6}; 4)$$ 3. Обозначим $A = 24 - 2x - x^2 = (x + 6)(4 - x)$. Используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, перепишем неравенство: $$\log_A(x + 6) \cdot \log_A(4 - x) < \frac{1}{4}$$ Заметим, что: $$\log_A(x + 6) + \log_A(4 - x) = \log_A\bigl((x + 6)(4 - x)\bigr) = \log_A A = 1$$ Пусть $u = \log_A(x + 6)$, тогда $\log_A(4 - x) = 1 - u$. Неравенство принимает вид: $$u(1 - u) < \frac{1}{4}$$ $$u - u^2 - \frac{1}{4} < 0$$ $$u^2 - u + \frac{1}{4} > 0$$ $$\left(u - \frac{1}{2}\right)^2 > 0$$ Данное неравенство выполняется для всех $u$, кроме $u = \frac{1}{2}$: $$u = \frac{1}{2} \iff \log_A(x + 6) = \frac{1}{2} \iff x + 6 = \sqrt{A}$$ $$(x + 6)^2 = A \iff (x + 6)^2 = (x + 6)(4 - x)$$ Так как на ОДЗ $x + 6 > 0$, разделим обе части на $(x + 6)$: $$x + 6 = 4 - x \implies 2x = -2 \implies x = -1$$ Значение $x = -1$ входит в ОДЗ, следовательно, его необходимо исключить из решения. 4. Объединяя ОДЗ и условие $x \neq -1$, получаем: $$x \in (-6; -1 - 2\sqrt{6}) \cup (-1 - 2\sqrt{6}; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; -1 + 2\sqrt{6}) \cup (-1 + 2\sqrt{6}; 4)$$ **Ответ:** $(-6; -1 - 2\sqrt{6}) \cup (-1 - 2\sqrt{6}; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; -1 + 2\sqrt{6}) \cup (-1 + 2\sqrt{6}; 4)$. --- **б)** Решим неравенство: $$27^x + 24 \geqslant 2(7 + \sqrt{22})^x + 12(7 - \sqrt{22})^x$$ 1. Заметим, что: $$(7 + \sqrt{22})(7 - \sqrt{22}) = 7^2 - (\sqrt{22})^2 = 49 - 22 = 27$$ Пусть $a = 7 + \sqrt{22}$, $b = 7 - \sqrt{22}$. Тогда $a \cdot b = 27$, а $27^x = a^x \cdot b^x$. 2. Подставим в неравенство: $$a^x b^x + 24 \geqslant 2a^x + 12b^x$$ $$a^x b^x - 2a^x - 12b^x + 24 \geqslant 0$$ $$a^x(b^x - 2) - 12(b^x - 2) \geqslant 0$$ $$(a^x - 12)(b^x - 2) \geqslant 0$$ 3. Оценим основания: - $a = 7 + \sqrt{22} > 1$, значит, функция $a^x$ монотонно возрастает; - $b = 7 - \sqrt{22} \approx 7 - 4{,}69 = 2{,}31 > 1$, значит, функция $b^x$ также монотонно возрастает. Найдем нули сомножителей: - $a^x - 12 = 0 \iff x_1 = \log_{7+\sqrt{22}} 12$; - $b^x - 2 = 0 \iff x_2 = \log_{7-\sqrt{22}} 2$. Сравним $x_1$ и $x_2$ с единицей: - Так как $12 > 7 + \sqrt{22}$ (так как $5 > \sqrt{22} \iff 25 > 22$), то $x_1 = \log_{7+\sqrt{22}} 12 > 1$; - Так как $2 < 7 - \sqrt{22}$ (так как $\sqrt{22} < 5$), то $x_2 = \log_{7-\sqrt{22}} 2 < 1$. Следовательно, $x_2 < x_1$. 4. Так как обе функции $a^x$ и $b^x$ возрастающие, знаки произведения множителей распределяются следующим образом: - при $x > x_1$ оба множителя положительны, произведение $\geqslant 0$; - при $x_2 < x < x_1$ первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение $\leqslant 0$; - при $x < x_2$ оба множителя отрицательны, произведение $\geqslant 0$. Следовательно: $$x \leqslant \log_{7-\sqrt{22}} 2 \quad \text{или} \quad x \geqslant \log_{7+\sqrt{22}} 12$$ **Ответ:** $(-\infty; \log_{7-\sqrt{22}} 2] \cup [\log_{7+\sqrt{22}} 12; +\infty)$. --- **в)** Решим неравенство: $$x \leqslant \log_5(16 \cdot 15^x - 15^{1+2x}) - \log_3(16 \cdot 5^x - 3^{1+x} \cdot 5^{1+2x})$$ 1. Преобразуем выражения под знаками логарифмов. Обозначим второе подлогарифмическое выражение через $T$: $$T = 16 \cdot 5^x - 3^{1+x} \cdot 5^{1+2x} = 16 \cdot 5^x - 3 \cdot 3^x \cdot 5 \cdot 5^{2x} = 16 \cdot 5^x - 15 \cdot 3^x \cdot 5^{2x}$$ Рассмотрим первое подлогарифмическое выражение: $$16 \cdot 15^x - 15^{1+2x} = 16 \cdot 3^x \cdot 5^x - 15 \cdot 3^{2x} \cdot 5^{2x} = 3^x \left(16 \cdot 5^x - 15 \cdot 3^x \cdot 5^{2x}\right) = 3^x \cdot T$$ 2. Для существования логарифмов необходимо: $$T > 0 \quad \text{и} \quad 3^x \cdot T > 0 \iff T > 0$$ 3. Перепишем исходное неравенство, используя полученное соотношение: $$x \leqslant \log_5(3^x \cdot T) - \log_3 T$$ $$x \leqslant \log_5(3^x) + \log_5 T - \log_3 T$$ $$x \leqslant x \log_5 3 + \log_5 T - \log_3 T$$ $$x(1 - \log_5 3) \leqslant \log_5 T - \log_3 T$$ Перейдем в разности логарифмов к основанию 3: $$\log_5 T = \frac{\log_3 T}{\log_3 5} = \log_3 T \cdot \log_5 3$$ $$\log_5 T - \log_3 T = \log_3 T \cdot (\log_5 3 - 1) = -(1 - \log_5 3)\log_3 T$$ Подставим это в неравенство: $$x(1 - \log_5 3) \leqslant -(1 - \log_5 3)\log_3 T$$ Так как $3 < 5$, то $\log_5 3 < 1$, откуда $1 - \log_5 3 > 0$. Разделим обе части на $(1 - \log_5 3)$: $$x \leqslant -\log_3 T$$ $$x + \log_3 T \leqslant 0$$ $$\log_3(3^x) + \log_3 T \leqslant 0$$ $$\log_3(3^x \cdot T) \leqslant 0$$ Так как основание $3 > 1$, а по ОДЗ аргумент логарифма положителен: $$0 < 3^x \cdot T \leqslant 1$$ 4. Вспомним, что $3^x \cdot T = 16 \cdot 15^x - 15^{1+2x}$. Пусть $y = 15^x$ (где $y > 0$). Тогда выражение принимает вид: $$16y - 15y^2$$ Получаем систему неравенств: $$\begin{cases} 16y - 15y^2 > 0 \\ 16y - 15y^2 \leqslant 1 \end{cases} \iff \begin{cases} y(15y - 16) < 0 \\ 15y^2 - 16y + 1 \geqslant 0 \end{cases}$$ - Из первого неравенства: $0 < y < \frac{16}{15}$. - Корни уравнения $15y^2 - 16y + 1 = 0$: $y_1 = \frac{1}{15}$, $y_2 = 1$. Решение второго неравенства: $y \leqslant \frac{1}{15}$ или $y \geqslant 1$. Пересекая полученные промежутки, находим: $$y \in \left(0; \frac{1}{15}\right] \cup \left[1; \frac{16}{15}\right)$$ 5. Выполним обратную замену $y = 15^x$: - $0 < 15^x \leqslant \frac{1}{15} \implies 15^x \leqslant 15^{-1} \implies x \leqslant -1$; - $1 \leqslant 15^x < \frac{16}{15} \implies 15^0 \leqslant 15^x < 15^{\log_{15}\frac{16}{15}} \implies 0 \leqslant x < \log_{15}\frac{16}{15}$. **Ответ:** $(-\infty; -1] \cup \left[0; \log_{15}\frac{16}{15}\right)$.