ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 219

Решим неравенство: $$ \log_2 \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x + 4}{4x + 8} \leqslant 0 $$ Так как основание внешнего логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей. С учётом области допустимых значений внешнего логарифма (подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля) получаем: $$ 0 < \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x + 4}{4x + 8} \leqslant 2^0 $$ $$ 0 < \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x + 4}{4x + 8} \leqslant 1 $$ Представим числа $0$ и $1$ в виде логарифмов по основанию $\frac{1}{2}$: $0 = \log_{\frac{1}{2}} 1$, $1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$. Неравенство примет вид: $$ \log_{\frac{1}{2}} 1 < \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x + 4}{4x + 8} \leqslant \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} $$ Поскольку основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ убывает, поэтому при переходе к аргументам знаки неравенств меняются на противоположные: $$ \frac{1}{2} \leqslant \frac{3x + 4}{4x + 8} < 1 $$ Запишем данное двойное неравенство в виде системы: $$ \begin{cases} \dfrac{3x + 4}{4x + 8} \geqslant \dfrac{1}{2} \\[10pt] \dfrac{3x + 4}{4x + 8} < 1 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство системы: $$ \frac{3x + 4}{4x + 8} - \frac{1}{2} \geqslant 0 $$ Приведём к общему знаменателю $4(x + 2)$: $$ \frac{3x + 4 - 2(x + 2)}{4(x + 2)} \geqslant 0 $$ $$ \frac{3x + 4 - 2x - 4}{4(x + 2)} \geqslant 0 $$ $$ \frac{x}{4(x + 2)} \geqslant 0 \iff \frac{x}{x + 2} \geqslant 0 $$ Решим неравенство методом интервалов: - нуль числителя: $x = 0$; - нуль знаменателя: $x = -2$. Получаем: $$ x \in (-\infty; -2) \cup [0; +\infty) $$ 2. Решим второе неравенство системы: $$ \frac{3x + 4}{4x + 8} - 1 < 0 $$ $$ \frac{3x + 4 - (4x + 8)}{4x + 8} < 0 $$ $$ \frac{-x - 4}{4(x + 2)} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-4$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x + 4}{x + 2} > 0 $$ Решим неравенство методом интервалов: - нули дроби: $x = -4$ и $x = -2$. Получаем: $$ x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty) $$ 3. Найдём пересечение решений обоих неравенств: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup [0; +\infty) \\ x \in (-\infty; -4) \cup (-2; +\infty) \end{cases} $$ Пересекая промежутки на числовой прямой, получаем: $$ x \in (-\infty; -4) \cup [0; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -4) \cup [0; +\infty)$.