ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 8

а) Решим иррациональное уравнение с параметром $a$: $$ \sqrt{x^2 - 6x - a} = x - 3 $$ Иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $$ Запишем соответствующую систему: $$ \begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ x^2 - 6x - a = (x - 3)^2 \end{cases} $$ Преобразуем уравнение системы: $$ x^2 - 6x - a = x^2 - 6x + 9 $$ $$ -a = 9 \iff a = -9 $$ Исследуем полученное равенство в зависимости от значений параметра $a$: 1. Если $a \ne -9$, то уравнение $-a = 9$ не имеет решений, а значит, исходное уравнение также не имеет корней. 2. Если $a = -9$, то равенство $-a = 9$ выполняется тождественно ($9 = 9$) при любых значениях $x$. С учётом условия $x - 3 \ge 0$ получаем $x \ge 3$. **Ответ:** при $a = -9$: $x \in [3; +\infty)$; при $a \ne -9$: корней нет. --- б) Решим иррациональное уравнение с параметром $a$: $$ \sqrt{x^2 + 2x + a} = x + 1 $$ Перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} x + 1 \ge 0, \\ x^2 + 2x + a = (x + 1)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки в правой части уравнения: $$ x^2 + 2x + a = x^2 + 2x + 1 $$ $$ a = 1 $$ Исследуем полученное равенство в зависимости от значений параметра $a$: 1. Если $a \ne 1$, то уравнение $a = 1$ не выполняется, следовательно, корней нет. 2. Если $a = 1$, то равенство $1 = 1$ истинно для всех значений переменной, удовлетворяющих условию $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. **Ответ:** при $a = 1$: $x \in [-1; +\infty)$; при $a \ne 1$: корней нет.