ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 5

### а) $|x-1|-a|x+1|=2$ Нулями подмодульных выражений являются числа $x = -1$ и $x = 1$. Рассмотрим три промежутка: 1. Пусть $x < -1$. Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x+1| = -(x+1) = -x-1$. Уравнение принимает вид: $$ (1-x) - a(-x-1) = 2 $$ $$ (a-1)x = 1-a $$ — При $a = 1$ получаем $0 \cdot x = 0$, равенство верно для всех $x < -1$. — При $a \ne 1$ получаем $x = \frac{1-a}{a-1} = -1$. Число $-1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x < -1$, поэтому при $a \ne 1$ на данном луче корней нет. 2. Пусть $-1 \le x \le 1$. Тогда $|x-1| = 1-x$ и $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид: $$ (1-x) - a(x+1) = 2 $$ $$ -(a+1)x = a+1 $$ $$ (a+1)(x+1) = 0 $$ — При $a = -1$ получаем $0 \cdot x = 0$, поэтому решениями являются все $x \in [-1; 1]$. — При $a \ne -1$ получаем корень $x = -1$, который принадлежит отрезку $[-1; 1]$. 3. Пусть $x > 1$. Тогда $|x-1| = x-1$ и $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид: $$ (x-1) - a(x+1) = 2 $$ $$ (1-a)x = a+3 $$ — При $a = 1$ уравнение $0 \cdot x = 4$ не имеет решений. — При $a \ne 1$ получаем $x = \frac{a+3}{1-a}$. Выясним, когда этот корень удовлетворяет условию $x > 1$: $$ \frac{a+3}{1-a} > 1 \iff \frac{a+3-(1-a)}{1-a} > 0 \iff \frac{2(a+1)}{1-a} > 0 \iff \frac{a+1}{a-1} < 0 $$ Неравенство выполняется при $-1 < a < 1$. Объединяя результаты рассмотренных случаев: — если $a < -1$, то $x = -1$; — если $a = -1$, то $x \in [-1; 1]$; — если $-1 < a < 1$, то $x = -1$; $x = \frac{a+3}{1-a}$; — если $a = 1$, то $x \le -1$; — если $a > 1$, то $x = -1$. **Ответ:** при $a < -1$ и $a > 1$: $x = -1$; при $a = -1$: $x \in [-1; 1]$; при $-1 < a < 1$: $x = -1$, $x = \frac{a+3}{1-a}$; при $a = 1$: $x \in (-\infty; -1]$. --- ### б) $|x-2|-a|x+1|=3$ Нулями подмодульных выражений являются числа $x = -1$ и $x = 2$. 1. Пусть $x < -1$. Тогда $|x-2| = 2-x$ и $|x+1| = -x-1$. $$ (2-x) - a(-x-1) = 3 $$ $$ (a-1)x = 1-a $$ — При $a = 1$ получаем $0 \cdot x = 0$, равенство верно для всех $x < -1$. — При $a \ne 1$ получаем $x = -1 \notin (-\infty; -1)$, на данном промежутке корней нет. 2. Пусть $-1 \le x \le 2$. Тогда $|x-2| = 2-x$ и $|x+1| = x+1$. $$ (2-x) - a(x+1) = 3 $$ $$ (a+1)(x+1) = 0 $$ — При $a = -1$ решением является весь отрезок $x \in [-1; 2]$. — При $a \ne -1$ получаем $x = -1 \in [-1; 2]$. 3. Пусть $x > 2$. Тогда $|x-2| = x-2$ и $|x+1| = x+1$. $$ (x-2) - a(x+1) = 3 $$ $$ (1-a)x = a+5 $$ — При $a = 1$ уравнение $0 \cdot x = 6$ решений не имеет. — При $a \ne 1$ получаем $x = \frac{a+5}{1-a}$. Проверим условие $x > 2$: $$ \frac{a+5}{1-a} > 2 \iff \frac{a+5-2(1-a)}{1-a} > 0 \iff \frac{3(a+1)}{1-a} > 0 \iff \frac{a+1}{a-1} < 0 \iff -1 < a < 1 $$ **Ответ:** при $a < -1$ и $a > 1$: $x = -1$; при $a = -1$: $x \in [-1; 2]$; при $-1 < a < 1$: $x = -1$, $x = \frac{a+5}{1-a}$; при $a = 1$: $x \in (-\infty; -1]$. --- ### в) $|x+3|-a|x-1|=4$ Нулями подмодульных выражений являются числа $x = -3$ и $x = 1$. 1. Пусть $x < -3$. Тогда $|x+3| = -x-3$ и $|x-1| = 1-x$. $$ (-x-3) - a(1-x) = 4 $$ $$ (a-1)x = a+7 $$ — При $a = 1$ уравнение $0 \cdot x = 8$ решений не имеет. — При $a \ne 1$ получаем $x = \frac{a+7}{a-1}$. Проверим условие $x < -3$: $$ \frac{a+7}{a-1} < -3 \iff \frac{a+7+3(a-1)}{a-1} < 0 \iff \frac{4(a+1)}{a-1} < 0 \iff -1 < a < 1 $$ 2. Пусть $-3 \le x \le 1$. Тогда $|x+3| = x+3$ и $|x-1| = 1-x$. $$ (x+3) - a(1-x) = 4 $$ $$ (a+1)(x-1) = 0 $$ — При $a = -1$ решением является отрезок $x \in [-3; 1]$. — При $a \ne -1$ получаем корень $x = 1 \in [-3; 1]$. 3. Пусть $x > 1$. Тогда $|x+3| = x+3$ и $|x-1| = x-1$. $$ (x+3) - a(x-1) = 4 $$ $$ (1-a)x = 1-a $$ — При $a = 1$ получаем $0 \cdot x = 0$, равенство верно для всех $x > 1$. — При $a \ne 1$ получаем $x = 1$, что не удовлетворяет условию $x > 1$. **Ответ:** при $a < -1$ и $a > 1$: $x = 1$; при $a = -1$: $x \in [-3; 1]$; при $-1 < a < 1$: $x = 1$, $x = \frac{a+7}{a-1}$; при $a = 1$: $x \in [1; +\infty)$. --- ### г) $|x+2|-a|x-3|=5$ Нулями подмодульных выражений являются числа $x = -2$ и $x = 3$. 1. Пусть $x < -2$. Тогда $|x+2| = -x-2$ и $|x-3| = 3-x$. $$ (-x-2) - a(3-x) = 5 $$ $$ (a-1)x = 3a+7 $$ — При $a = 1$ получаем $0 \cdot x = 10$, корней нет. — При $a \ne 1$ получаем $x = \frac{3a+7}{a-1}$. Проверим условие $x < -2$: $$ \frac{3a+7}{a-1} < -2 \iff \frac{3a+7+2(a-1)}{a-1} < 0 \iff \frac{5(a+1)}{a-1} < 0 \iff -1 < a < 1 $$ 2. Пусть $-2 \le x \le 3$. Тогда $|x+2| = x+2$ и $|x-3| = 3-x$. $$ (x+2) - a(3-x) = 5 $$ $$ (a+1)(x-3) = 0 $$ — При $a = -1$ решением является отрезок $x \in [-2; 3]$. — При $a \ne -1$ получаем корень $x = 3 \in [-2; 3]$. 3. Пусть $x > 3$. Тогда $|x+2| = x+2$ и $|x-3| = x-3$. $$ (x+2) - a(x-3) = 5 $$ $$ (1-a)x = 3(1-a) $$ — При $a = 1$ получаем $0 \cdot x = 0$, равенство верно для всех $x > 3$. — При $a \ne 1$ получаем $x = 3$, что не удовлетворяет условию $x > 3$. **Ответ:** при $a < -1$ и $a > 1$: $x = 3$; при $a = -1$: $x \in [-2; 3]$; при $-1 < a < 1$: $x = 3$, $x = \frac{3a+7}{a-1}$; при $a = 1$: $x \in [3; +\infty)$.