ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 10

**15.10** **а)** $(a-1)x > a^2 - 1$ Разложим правую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов: $$ (a-1)x > (a-1)(a+1) $$ Рассмотрим три случая в зависимости от знака коэффициента при переменной $x$: 1. Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, разделим обе части неравенства на положительное число $(a-1)$, знак неравенства при этом сохраняется: $$ x > a + 1 $$ или $x \in (a + 1; +\infty)$. 2. Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, разделим обе части неравенства на отрицательное число $(a-1)$, знак неравенства изменится на противоположный: $$ x < a + 1 $$ или $x \in (-\infty; a + 1)$. 3. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, подставим это значение в неравенство: $$ 0 \cdot x > 0 \implies 0 > 0 $$ Неравенство неверно ни при каких значениях $x$, следовательно, решений нет. **Ответ:** - при $a > 1$: $x > a + 1$; - при $a < 1$: $x < a + 1$; - при $a = 1$: решений нет. --- **б)** $(a+2)x > a^2 - 4$ Разложим правую часть неравенства на множители: $$ (a+2)x > (a-2)(a+2) $$ Рассмотрим три возможных случая: 1. Если $a + 2 > 0$, то есть $a > -2$, разделим обе части на положительное выражение $(a+2)$, сохраняя знак неравенства: $$ x > a - 2 $$ или $x \in (a - 2; +\infty)$. 2. Если $a + 2 < 0$, то есть $a < -2$, разделим обе части на отрицательное выражение $(a+2)$, меняя знак неравенства на противоположный: $$ x < a - 2 $$ или $x \in (-\infty; a - 2)$. 3. Если $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$, подставим значение в неравенство: $$ 0 \cdot x > 0 \implies 0 > 0 $$ Неравенство неверно, поэтому решений нет. **Ответ:** - при $a > -2$: $x > a - 2$; - при $a < -2$: $x < a - 2$; - при $a = -2$: решений нет. --- **в)** $(a+3)x \geqslant a^2 - 9$ Разложим правую часть неравенства на множители: $$ (a+3)x \geqslant (a-3)(a+3) $$ Исследуем коэффициент при $x$: 1. Если $a + 3 > 0$, то есть $a > -3$, разделим обе части на $(a+3) > 0$: $$ x \geqslant a - 3 $$ или $x \in [a - 3; +\infty)$. 2. Если $a + 3 < 0$, то есть $a < -3$, разделим обе части на $(a+3) < 0$, меняя знак неравенства: $$ x \leqslant a - 3 $$ или $x \in (-\infty; a - 3]$. 3. Если $a + 3 = 0$, то есть $a = -3$, подставим значение: $$ 0 \cdot x \geqslant 0 \implies 0 \geqslant 0 $$ Неравенство верно при любом значении $x$, следовательно, $x \in \mathbb{R}$. **Ответ:** - при $a > -3$: $x \geqslant a - 3$; - при $a < -3$: $x \leqslant a - 3$; - при $a = -3$: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$). --- **г)** $(a-4)x \leqslant a^2 - 16$ Разложим правую часть неравенства на множители: $$ (a-4)x \leqslant (a-4)(a+4) $$ Рассмотрим три случая: 1. Если $a - 4 > 0$, то есть $a > 4$, разделим обе части на положительное число $(a-4)$: $$ x \leqslant a + 4 $$ или $x \in (-\infty; a + 4]$. 2. Если $a - 4 < 0$, то есть $a < 4$, разделим обе части на отрицательное число $(a-4)$, поменяв знак неравенства на противоположный: $$ x \geqslant a + 4 $$ или $x \in [a + 4; +\infty)$. 3. Если $a - 4 = 0$, то есть $a = 4$, получаем: $$ 0 \cdot x \leqslant 0 \implies 0 \leqslant 0 $$ Неравенство выполняется при любом значении $x$, то есть решением является вся числовая прямая ($x \in \mathbb{R}$). **Ответ:** - при $a > 4$: $x \leqslant a + 4$; - при $a < 4$: $x \geqslant a + 4$; - при $a = 4$: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).