ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 12

**14.12** **а)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y + x^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ y > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ y > 0 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы. Представим единицу как $\log_3 3$ и применим свойства логарифмов: $$ \log_3 3 + \log_3(x+1)^2 = \log_3 y $$ $$ \log_3(3(x+1)^2) = \log_3 y $$ Отсюда получаем: $$ y = 3(x+1)^2 $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ 3(x+1)^2 + x^2 = 3 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 3(x^2 + 2x + 1) + x^2 = 3 $$ $$ 3x^2 + 6x + 3 + x^2 = 3 $$ $$ 4x^2 + 6x = 0 $$ $$ 2x(2x + 3) = 0 $$ Получаем два корня: $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x_2 = -1{,}5 $$ Проверим корни по ОДЗ ($x > -1$): * $x_1 = 0 > -1$ — удовлетворяет ОДЗ. * $x_2 = -1{,}5 < -1$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). Найдем значение $y$ при $x = 0$: $$ y = 3(0 + 1)^2 = 3 $$ Значение $y = 3 > 0$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $(0; 3)$ --- **б)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y^2 = 3 \\ 2\log_2(y+1) = 2 + \log_2 x \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} y + 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > -1 \\ x > 0 \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы. Представим число $2$ как $\log_2 4$ и применим свойства логарифмов: $$ \log_2(y+1)^2 = \log_2 4 + \log_2 x $$ $$ \log_2(y+1)^2 = \log_2(4x) $$ Отсюда получаем: $$ (y+1)^2 = 4x \implies x = \frac{(y+1)^2}{4} $$ Подставим выражение для $x$ в первое уравнение системы: $$ \frac{(y+1)^2}{4} + 2y^2 = 3 $$ Умножим обе части уравнения на $4$: $$ (y+1)^2 + 8y^2 = 12 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ y^2 + 2y + 1 + 8y^2 = 12 $$ $$ 9y^2 + 2y - 11 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 = 20^2 $$ $$ y_1 = \frac{-2 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1 $$ $$ y_2 = \frac{-2 - 20}{2 \cdot 9} = \frac{-22}{18} = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} $$ Проверим корни по условию $y > -1$: * $y_1 = 1 > -1$ — удовлетворяет ОДЗ. * $y_2 = -1\frac{2}{9} < -1$ — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень). Найдем значение $x$ при $y = 1$: $$ x = \frac{(1+1)^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ Значение $x = 1 > 0$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $(1; 1)$