ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 15

**а)** Решим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y = -6, \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y = -4. \end{array} \right. $$ Заметим, что слагаемые, содержащие переменную $y$, в обоих уравнениях одинаковы: $2xy - 4y$. Вычтем из второго уравнения системы первое: $$ (5x^2 + 2xy - 12x - 4y) - (3x^2 + 2xy - 9x - 4y) = -4 - (-6) $$ $$ 2x^2 - 3x = 2 $$ $$ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $$ Найдем корни полученного квадратного уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$; $x_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = 2$; $x_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$. Рассмотрим два случая: 1. Если $x = 2$, подставим это значение в первое уравнение: $$ 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot y - 9 \cdot 2 - 4y = -6 $$ $$ 12 + 4y - 18 - 4y = -6 $$ $$ -6 = -6 $$ Получили верное числовое равенство, не зависящее от $y$. Это означает, что при $x = 2$ значение $y$ может быть любым действительным числом. Значит, все пары вида $(2; y)$, где $y \in \mathbb{R}$, являются решениями системы. 2. Если $x = -\frac{1}{2}$, подставим это значение в первое уравнение: $$ 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot y - 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 4y = -6 $$ $$ \frac{3}{4} - y + \frac{9}{2} - 4y = -6 $$ $$ \frac{21}{4} - 5y = -6 $$ $$ -5y = -6 - \frac{21}{4} $$ $$ -5y = -\frac{45}{4} $$ $$ y = \frac{9}{4} = 2{,}25 $$ Получаем решение: $\left(-\frac{1}{2}; \frac{9}{4}\right)$. Ответ: $(2; y)$, где $y \in \mathbb{R}$; $\left(-\frac{1}{2}; 2\frac{1}{4}\right)$. --- **б)** Решим систему уравнений: $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y = 3, \\ 4{,}5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y = 7. \end{array} \right. $$ Умножим первое уравнение на $3$, а второе уравнение — на $2$, чтобы уравнять коэффициенты при квадратах переменных: $$ \left\{ \begin{array}{l} 9x^2 + 6y^2 - 9x + 15y = 9, \\ 9x^2 + 6y^2 - 6x + 16y = 14. \end{array} \right. $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (9x^2 + 6y^2 - 6x + 16y) - (9x^2 + 6y^2 - 9x + 15y) = 14 - 9 $$ $$ 3x + y = 5 $$ Выразим $y$ через $x$: $$ y = 5 - 3x $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы: $$ 3x^2 + 2(5 - 3x)^2 - 3x + 5(5 - 3x) = 3 $$ $$ 3x^2 + 2(25 - 30x + 9x^2) - 3x + 25 - 15x = 3 $$ $$ 3x^2 + 50 - 60x + 18x^2 - 18x + 25 - 3 = 0 $$ $$ 21x^2 - 78x + 72 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ 7x^2 - 26x + 24 = 0 $$ Найдем корни уравнения через четверть дискриминанта: $\frac{D}{4} = (-13)^2 - 7 \cdot 24 = 169 - 168 = 1$; $x_1 = \frac{13 + 1}{7} = \frac{14}{7} = 2$; $x_2 = \frac{13 - 1}{7} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$. Найдем соответствующие значения $y$: 1. При $x_1 = 2$: $y_1 = 5 - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$. 2. При $x_2 = \frac{12}{7}$: $y_2 = 5 - 3 \cdot \frac{12}{7} = \frac{35}{7} - \frac{36}{7} = -\frac{1}{7}$. Ответ: $(2; -1)$, $\left(1\frac{5}{7}; -\frac{1}{7}\right)$.