ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 14

**а)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 4x + 2y = 1 \\ 3x^2 - 2y^2 - 6x - 4y = 5 \end{cases} $$ Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$: $$ \begin{cases} 2(x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) = 1 \\ 3(x^2 - 2x) - 2(y^2 + 2y) = 5 \end{cases} $$ Введем новые переменные: пусть $u = x^2 - 2x$, а $v = y^2 + 2y$. Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2u + v = 1 \\ 3u - 2v = 5 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $v$: $$ v = 1 - 2u $$ Подставим выражение для $v$ во второе уравнение: $$ 3u - 2(1 - 2u) = 5 $$ $$ 3u - 2 + 4u = 5 $$ $$ 7u = 7 $$ $$ u = 1 $$ Найдем значение $v$: $$ v = 1 - 2 \cdot 1 = -1 $$ Вернемся к исходным переменным: 1. Для переменной $x$: $$ x^2 - 2x = 1 $$ $$ x^2 - 2x - 1 = 0 $$ $$ D_1 = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 $$ $$ x = 1 \pm \sqrt{2} $$ 2. Для переменной $y$: $$ y^2 + 2y = -1 $$ $$ y^2 + 2y + 1 = 0 $$ $$ (y + 1)^2 = 0 $$ $$ y = -1 $$ Получаем два решения: $(1 + \sqrt{2}; -1)$ и $(1 - \sqrt{2}; -1)$. **Ответ:** $(1 + \sqrt{2}; -1)$, $(1 - \sqrt{2}; -1)$. --- **б)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2x - 5y = -5 \\ x^2 + y^2 + 2x - 10y = -9 \end{cases} $$ Вычтем первое уравнение из второго: $$ (x^2 + y^2 + 2x - 10y) - (x^2 + 2x - 5y) = -9 - (-5) $$ $$ y^2 - 5y = -4 $$ $$ y^2 - 5y + 4 = 0 $$ По теореме Виета найдем корни квадратного уравнения: $$ y_1 = 1, \quad y_2 = 4 $$ Выразим $x^2 + 2x$ из первого уравнения системы: $$ x^2 + 2x = 5y - 5 $$ Рассмотрим два случая: 1. Если $y = 1$: $$ x^2 + 2x = 5 \cdot 1 - 5 $$ $$ x^2 + 2x = 0 $$ $$ x(x + 2) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = -2 $$ Получаем пары решений: $(0; 1)$ и $(-2; 1)$. 2. Если $y = 4$: $$ x^2 + 2x = 5 \cdot 4 - 5 $$ $$ x^2 + 2x = 15 $$ $$ x^2 + 2x - 15 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_3 = 3, \quad x_4 = -5 $$ Получаем пары решений: $(3; 4)$ и $(-5; 4)$. **Ответ:** $(0; 1)$, $(-2; 1)$, $(3; 4)$, $(-5; 4)$.