ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 11

**14.11** **а)** $$ \begin{cases} x + 2y = 13, \\ 2\log_4 x - \log_4 (2y - 1) = 0,5. \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} x > 0, \\ 2y - 1 > 0; \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ y > 0,5. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы, используя свойства логарифмов: $$ \log_4 (x^2) - \log_4 (2y - 1) = 0,5 $$ $$ \log_4 \left( \frac{x^2}{2y - 1} \right) = \frac{1}{2} $$ По определению логарифма: $$ \frac{x^2}{2y - 1} = 4^{\frac{1}{2}} $$ $$ \frac{x^2}{2y - 1} = 2 $$ $$ x^2 = 2(2y - 1) $$ $$ x^2 = 4y - 2 $$ Из первого уравнения выразим $2y$ и найдем $4y$: $2y = 13 - x$, тогда $4y = 2(13 - x) = 26 - 2x$. Подставим полученное выражение для $4y$ во второе уравнение: $$ x^2 = (26 - 2x) - 2 $$ $$ x^2 + 2x - 24 = 0 $$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = -6$. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$ (посторонний корень). При $x = 4$: $$ 2y = 13 - 4 = 9 \implies y = 4,5 $$ Значение $y = 4,5$ удовлетворяет условию $y > 0,5$. Ответ: $(4; 4,5)$. --- **б)** $$ \begin{cases} 2x - y = 19, \\ \log_9 (2x - 1) - \log_9 y = -0,5. \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} 2x - 1 > 0, \\ y > 0; \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0,5, \\ y > 0. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы: $$ \log_9 \left( \frac{2x - 1}{y} \right) = -\frac{1}{2} $$ По определению логарифма: $$ \frac{2x - 1}{y} = 9^{-\frac{1}{2}} $$ $$ \frac{2x - 1}{y} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} $$ Отсюда выразим $y$: $$ y = 3(2x - 1) $$ $$ y = 6x - 3 $$ Из первого уравнения системы выразим $y$: $$ y = 2x - 19 $$ Приравняем полученные выражения для $y$: $$ 6x - 3 = 2x - 19 $$ $$ 6x - 2x = -19 + 3 $$ $$ 4x = -16 $$ $$ x = -4 $$ Проверим найденное значение по ОДЗ: $x = -4$ не удовлетворяет условию $x > 0,5$. Следовательно, система не имеет решений. Ответ: решений нет.