ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 9

**а)** $$ \begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0 \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (x^2 - 4x - 2y - 1) + (y^2 - 2x + 6y + 14) = 0 $$ $$ x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 0 $$ $$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0 $$ Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: $$ \begin{cases} x - 3 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases} $$ Проверим полученную пару $(3; -2)$ подстановкой в первое уравнение исходной системы: $$ 3^2 - 4 \cdot 3 - 2 \cdot (-2) - 1 = 9 - 12 + 4 - 1 = 0 $$ Равенство верно, следовательно, пара $(3; -2)$ удовлетворяет и второму уравнению системы. Ответ: $(3; -2)$. --- **б)** $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0 \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ (x^2 - 4x + 4y + 27) + (y^2 + 2x + 8y + 10) = 0 $$ $$ x^2 - 2x + y^2 + 12y + 37 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 12y + 36) = 0 $$ $$ (x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, равенство выполняется только при: $$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 6 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1 \\ y = -6 \end{cases} $$ Проверим пару $(1; -6)$ в первом уравнении системы: $$ 1^2 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot (-6) + 27 = 1 - 4 - 24 + 27 = 0 $$ Равенство верно. Ответ: $(1; -6)$. --- **в)** $$ \begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0 \end{cases} $$ Сложим почленно первое и второе уравнения: $$ (x^2 - 6x - 3y - 1) + (y^2 + 2x + 9y + 14) = 0 $$ $$ x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 0 $$ $$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0 $$ Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если каждое из них равно нулю: $$ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \end{cases} $$ Проверим найденную пару $(2; -3)$ в первом уравнении системы: $$ 2^2 - 6 \cdot 2 - 3 \cdot (-3) - 1 = 4 - 12 + 9 - 1 = 0 $$ Равенство верно. Ответ: $(2; -3)$. --- **г)** $$ \begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0 \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ (x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = 0 $$ $$ x^2 + 10x + y^2 - 2y + 26 = 0 $$ Выделим полные квадраты: $$ (x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 2y + 1) = 0 $$ $$ (x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 0 $$ Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда основания равны нулю: $$ \begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -5 \\ y = 1 \end{cases} $$ Проверим пару $(-5; 1)$ в первом уравнении системы: $$ (-5)^2 + 7 \cdot (-5) - 1 + 11 = 25 - 35 - 1 + 11 = 0 $$ Равенство верно. Ответ: $(-5; 1)$.