ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 137

### а) $$ \frac{|x| - 1}{\sqrt{17x^2 + 8} - 5} = \frac{1}{3} $$ Пусть $|x| = t$, причём $t \ge 0$. Так как $x^2 = |x|^2 = t^2$, перепишем уравнение относительно $t$: $$ \frac{t - 1}{\sqrt{17t^2 + 8} - 5} = \frac{1}{3} $$ Найдем область допустимых значений (знаменатель не равен нулю): $$ \sqrt{17t^2 + 8} - 5 \ne 0 \iff \sqrt{17t^2 + 8} \ne 5 \iff 17t^2 + 8 \ne 25 \iff 17t^2 \ne 17 \iff t \ne 1 $$ Применив свойство пропорции при $t \ne 1$, получаем: $$ \sqrt{17t^2 + 8} - 5 = 3(t - 1) $$ $$ \sqrt{17t^2 + 8} = 3t + 2 $$ Так как $t \ge 0$, правая часть $3t + 2 > 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 17t^2 + 8 = (3t + 2)^2 $$ $$ 17t^2 + 8 = 9t^2 + 12t + 4 $$ $$ 8t^2 - 12t + 4 = 0 $$ Разделим обе части на $4$: $$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} $$ Значение $t_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как при $t = 1$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Остаётся корень $t = \frac{1}{2}$: $$ |x| = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{2} $$ Ответ: $\pm \frac{1}{2}$. --- ### б) $$ \frac{|x| - 1}{\sqrt{10x^2 + 6} - 4} = \frac{1}{3} $$ Пусть $|x| = t$, где $t \ge 0$. Учитывая, что $x^2 = t^2$: $$ \frac{t - 1}{\sqrt{10t^2 + 6} - 4} = \frac{1}{3} $$ ОДЗ: $$ \sqrt{10t^2 + 6} - 4 \ne 0 \iff 10t^2 + 6 \ne 16 \iff 10t^2 \ne 10 \iff t \ne 1 $$ Умножим обе части уравнения на знаменатели: $$ \sqrt{10t^2 + 6} - 4 = 3(t - 1) $$ $$ \sqrt{10t^2 + 6} = 3t + 1 $$ При $t \ge 0$ выражение $3t + 1 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 10t^2 + 6 = (3t + 1)^2 $$ $$ 10t^2 + 6 = 9t^2 + 6t + 1 $$ $$ t^2 - 6t + 5 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 5 $$ Корень $t_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ. Для $t = 5$: $$ |x| = 5 \implies x = \pm 5 $$ Ответ: $\pm 5$. --- ### в) $$ \frac{|x| - 1}{\sqrt{7x^2 + 2} - 3} = \frac{1}{2} $$ Пусть $|x| = t$, где $t \ge 0$. Тогда: $$ \frac{t - 1}{\sqrt{7t^2 + 2} - 3} = \frac{1}{2} $$ ОДЗ: $$ \sqrt{7t^2 + 2} - 3 \ne 0 \iff 7t^2 + 2 \ne 9 \iff 7t^2 \ne 7 \iff t \ne 1 $$ По свойству пропорции: $$ \sqrt{7t^2 + 2} - 3 = 2(t - 1) $$ $$ \sqrt{7t^2 + 2} = 2t + 1 $$ Так как $t \ge 0$, то $2t + 1 > 0$. Возведём обе части в квадрат: $$ 7t^2 + 2 = (2t + 1)^2 $$ $$ 7t^2 + 2 = 4t^2 + 4t + 1 $$ $$ 3t^2 - 4t + 1 = 0 $$ $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 $$ $$ t_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad t_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} $$ Значение $t_1 = 1$ не входит в ОДЗ. Для $t = \frac{1}{3}$: $$ |x| = \frac{1}{3} \implies x = \pm \frac{1}{3} $$ Ответ: $\pm \frac{1}{3}$. --- ### г) $$ \frac{|x| - 1}{\sqrt{9x^2 + 7} - 4} = \frac{1}{2} $$ Пусть $|x| = t$, где $t \ge 0$. Тогда: $$ \frac{t - 1}{\sqrt{9t^2 + 7} - 4} = \frac{1}{2} $$ ОДЗ: $$ \sqrt{9t^2 + 7} - 4 \ne 0 \iff 9t^2 + 7 \ne 16 \iff 9t^2 \ne 9 \iff t \ne 1 $$ По свойству пропорции: $$ \sqrt{9t^2 + 7} - 4 = 2(t - 1) $$ $$ \sqrt{9t^2 + 7} = 2t + 2 $$ При $t \ge 0$ правая часть положительна. Возведём обе части в квадрат: $$ 9t^2 + 7 = (2t + 2)^2 $$ $$ 9t^2 + 7 = 4t^2 + 8t + 4 $$ $$ 5t^2 - 8t + 3 = 0 $$ $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 $$ $$ t_1 = \frac{8 + 2}{10} = 1, \quad t_2 = \frac{8 - 2}{10} = \frac{3}{5} $$ Значение $t_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ. Для $t = \frac{3}{5}$: $$ |x| = \frac{3}{5} \implies x = \pm \frac{3}{5} $$ Ответ: $\pm \frac{3}{5}$.