ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 134

**134.** Решим уравнение: $$ \sqrt{4x-x^2}-3(\sqrt{2}\cos x-\sqrt{1+\cos 2x})=0 $$ 1. Преобразуем выражение в скобках. Воспользуемся формулой понижения степени $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$: $$ \sqrt{1+\cos 2x} = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{\cos^2 x} = \sqrt{2}|\cos x| $$ Тогда выражение в скобках принимает вид: $$ \sqrt{2}\cos x - \sqrt{1+\cos 2x} = \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}|\cos x| = \sqrt{2}(\cos x - |\cos x|) $$ 2. Перепишем исходное уравнение: $$ \sqrt{4x-x^2} = 3\sqrt{2}(\cos x - |\cos x|) $$ 3. Оценим значения левой и правой частей уравнения: * Для левой части: по определению арифметического квадратного корня $\sqrt{4x-x^2} \ge 0$ при всех допустимых значениях $x$. * Для правой части: так как для любого числа справедливо неравенство $|\cos x| \ge \cos x$, то $\cos x - |\cos x| \le 0$, а значит: $$ 3\sqrt{2}(\cos x - |\cos x|) \le 0 $$ Равенство неотрицательного выражения и неположительного выражения возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны нулю: $$ \begin{cases} \sqrt{4x-x^2} = 0 \\ \cos x - |\cos x| = 0 \end{cases} $$ 4. Решим первое уравнение системы: $$ 4x - x^2 = 0 $$ $$ x(4 - x) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 $$ 5. Проверим полученные значения с помощью второго условия: Уравнение $\cos x - |\cos x| = 0$ равносильно условию $\cos x \ge 0$. * При $x = 0$: $\cos 0 = 1 \ge 0$ — верно, следовательно, $x = 0$ является корнем уравнения. * При $x = 4$: Так как $\pi \approx 3{,}14$ и $\dfrac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$, угол в $4$ радиана лежит в третьей четверти ($\pi < 4 < \dfrac{3\pi}{2}$), где косинус отрицателен, то есть $\cos 4 < 0$. Условие не выполняется, значит, $x = 4$ — посторонний корень. Ответ: $0$.