ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 138

### а) $$\sqrt{3x+5} - \frac{1}{\sqrt{3x+5}} = \sqrt{5x-3} - \frac{1}{\sqrt{5x-3}}$$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} 3x + 5 > 0, \\ 5x - 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -\frac{5}{3}, \\ x > \frac{3}{5} \end{cases} \iff x > \frac{3}{5}$$ 2. Рассмотрим функцию $f(t) = t - \frac{1}{t}$ при $t > 0$. Её производная $f'(t) = 1 + \frac{1}{t^2} > 0$ при всех $t > 0$, следовательно, функция $f(t)$ строго возрастает на промежутке $(0; +\infty)$. Из равенства $f(t_1) = f(t_2)$ для строго монотонной функции следует, что $t_1 = t_2$. В исходном уравнении положим $t_1 = \sqrt{3x+5} > 0$ и $t_2 = \sqrt{5x-3} > 0$: $$\sqrt{3x+5} = \sqrt{5x-3}$$ 3. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$3x + 5 = 5x - 3$$ $$2x = 8$$ $$x = 4$$ Значение $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0{,}6$). **Ответ: $4$** --- ### б) $$\sqrt{7x+1002} - \sqrt{8x-1000} = \frac{1}{\sqrt{7x+1002}} - \frac{1}{\sqrt{8x-1000}}$$ 1. ОДЗ: $$\begin{cases} 7x + 1002 > 0, \\ 8x - 1000 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -\frac{1002}{7}, \\ x > 125 \end{cases} \iff x > 125$$ 2. Сгруппируем слагаемые: $$\sqrt{7x+1002} - \frac{1}{\sqrt{7x+1002}} = \sqrt{8x-1000} - \frac{1}{\sqrt{8x-1000}}$$ 3. Как и в пункте **а**, функция $f(t) = t - \frac{1}{t}$ является строго возрастающей на $(0; +\infty)$, поэтому уравнение вида $f(t_1) = f(t_2)$ равносильно $t_1 = t_2$: $$\sqrt{7x+1002} = \sqrt{8x-1000}$$ $$7x + 1002 = 8x - 1000$$ $$x = 2002$$ Значение $x = 2002$ удовлетворяет ОДЗ ($2002 > 125$). **Ответ: $2002$** --- ### в) $$\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+2}} - \frac{\sqrt{2x-0{,}5}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2x+3}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x-0{,}5}}$$ 1. ОДЗ: $$\begin{cases} x > 0, \\ 2x - 0{,}5 > 0, \\ x + 2 > 0, \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} \iff x > 0{,}25$$ 2. Перенесём взаимно обратные выражения в одну сторону: $$\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x+2}} - \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{2x+3}} = \frac{\sqrt{2x-0{,}5}}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x-0{,}5}}$$ 3. Используя строгое возрастание функции $f(t) = t - \frac{1}{t}$ при $t > 0$, получаем: $$\sqrt{\frac{2x+3}{x+2}} = \sqrt{\frac{2x-0{,}5}{x}}$$ $$\frac{2x+3}{x+2} = \frac{2x-0{,}5}{x}$$ По основному свойству пропорции: $$x(2x + 3) = (x + 2)(2x - 0{,}5)$$ $$2x^2 + 3x = 2x^2 + 4x - 0{,}5x - 1$$ $$2x^2 + 3x = 2x^2 + 3{,}5x - 1$$ $$0{,}5x = 1$$ $$x = 2$$ Значение $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0{,}25$). **Ответ: $2$** --- ### г) $$\sqrt{x^2+3} + \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} = \sqrt{x^2+x+2} + \frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}$$ 1. ОДЗ: Подкоренные выражения строго положительны при всех действительных $x$, так как: $$x^2 + 3 \ge 3 > 0$$ $$x^2 + x + 2 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4} > 0$$ Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. 2. Рассмотрим функцию $g(t) = t + \frac{1}{t}$ при $t \ge 1$. Её производная $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} > 0$ при $t > 1$, значит, функция $g(t)$ строго возрастает на $[1; +\infty)$. Оценим значения аргументов $t_1 = \sqrt{x^2+3}$ и $t_2 = \sqrt{x^2+x+2}$: $$t_1 = \sqrt{x^2+3} \ge \sqrt{3} > 1$$ $$t_2 = \sqrt{x^2+x+2} \ge \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} > 1$$ Так как $t_1, t_2 \in [1; +\infty)$ и на этом луче функция $g(t)$ строго монотонна, равенство $g(t_1) = g(t_2)$ возможно тогда и только тогда, когда $t_1 = t_2$: $$\sqrt{x^2+3} = \sqrt{x^2+x+2}$$ $$x^2 + 3 = x^2 + x + 2$$ $$x = 1$$ **Ответ: $1$** --- ### д) $$\sqrt{x^2+1} - \sqrt{2x^2-4x+5} = \frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$ 1. ОДЗ: Подкоренные выражения: $$x^2 + 1 \ge 1 > 0$$ $$2x^2 - 4x + 5 = 2(x - 1)^2 + 3 \ge 3 > 0$$ Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. 2. Сгруппируем слагаемые: $$\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = \sqrt{2x^2-4x+5} + \frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}}$$ 3. Обозначим $t_1 = \sqrt{x^2+1}$ и $t_2 = \sqrt{2x^2-4x+5}$. Заметим, что $t_1 \ge 1$ и $t_2 \ge \sqrt{3} > 1$. Уравнение принимает вид $g(t_1) = g(t_2)$, где $g(t) = t + \frac{1}{t}$. Поскольку функция $g(t)$ строго возрастает на $[1; +\infty)$, получаем: $$t_1 = t_2$$ $$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{2x^2-4x+5}$$ $$x^2 + 1 = 2x^2 - 4x + 5$$ $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ $$(x - 2)^2 = 0$$ $$x = 2$$ **Ответ: $2$** --- ### е) $$\sqrt{x^2+1} - \sqrt{2x^2-9x+21} = \frac{1}{\sqrt{2x^2-9x+21}} - \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$ 1. ОДЗ: Подкоренные выражения: $$x^2 + 1 \ge 1 > 0$$ $$2x^2 - 9x + 21 = 2\left(x - \frac{9}{4}\right)^2 + \frac{87}{8} \ge \frac{87}{8} > 0$$ Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$. 2. Перенесем слагаемые: $$\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = \sqrt{2x^2-9x+21} + \frac{1}{\sqrt{2x^2-9x+21}}$$ 3. Обозначим $t_1 = \sqrt{x^2+1} \ge 1$ и $t_2 = \sqrt{2x^2-9x+21} \ge \sqrt{\frac{87}{8}} > 1$. Функция $g(t) = t + \frac{1}{t}$ строго возрастает при $t \ge 1$, значит: $$t_1 = t_2$$ $$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{2x^2-9x+21}$$ $$x^2 + 1 = 2x^2 - 9x + 21$$ $$x^2 - 9x + 20 = 0$$ По теореме Виета: $$x_1 = 4, \quad x_2 = 5$$ Оба значения принадлежат ОДЗ. **Ответ: $4; \, 5$**