ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 140

**а)** $2^{x-3} + 2^{3-x} = -x^2 + 6x - 7$ Оценим левую и правую части уравнения. 1. Для любого положительного числа $a > 0$ справедливо неравенство Коши: $$ a + \frac{1}{a} \ge 2 $$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = 1$. Так как $2^{x-3} > 0$, то: $$ 2^{x-3} + 2^{3-x} = 2^{x-3} + \frac{1}{2^{x-3}} \ge 2 $$ Равенство достигается при: $$ 2^{x-3} = 1 \iff x - 3 = 0 \iff x = 3 $$ 2. Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат: $$ -x^2 + 6x - 7 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 - 7 = -(x - 3)^2 + 2 $$ Так как $-(x - 3)^2 \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то: $$ -(x - 3)^2 + 2 \le 2 $$ Равенство достигается при: $$ -(x - 3)^2 = 0 \iff x = 3 $$ 3. Левая часть уравнения не меньше $2$, а правая — не больше $2$. Следовательно, равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны $2$: $$ \begin{cases} 2^{x-3} + 2^{3-x} = 2 \\ -x^2 + 6x - 7 = 2 \end{cases} $$ Оба уравнения системы выполняются при $x = 3$. Ответ: $3$. --- **б)** $2^{x-2} + 2^{2-x} = -x^2 + 4x - 2$ Оценим левую и правую части уравнения. 1. Левая часть представляет собой сумму двух взаимно обратных положительных чисел: $$ 2^{x-2} + 2^{2-x} = 2^{x-2} + \frac{1}{2^{x-2}} \ge 2 $$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда: $$ 2^{x-2} = 1 \iff x - 2 = 0 \iff x = 2 $$ 2. Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат: $$ -x^2 + 4x - 2 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 - 2 = -(x - 2)^2 + 2 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $-(x - 2)^2 \le 0$, откуда: $$ -(x - 2)^2 + 2 \le 2 $$ Равенство достигается при: $$ -(x - 2)^2 = 0 \iff x = 2 $$ 3. Поскольку левая часть не меньше $2$, а правая часть не больше $2$, уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда обе части равны $2$: $$ \begin{cases} 2^{x-2} + 2^{2-x} = 2 \\ -x^2 + 4x - 2 = 2 \end{cases} $$ Единственным решением системы является $x = 2$. Ответ: $2$.