ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 136

а) $\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} - \sqrt{5x-3} = 0$ Перенесём второй корень в правую часть уравнения: $$ \sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} = \sqrt{5x-3} $$ Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе: $$ \begin{cases} \dfrac{x+5}{2x+1} = 5x - 3, \\ 5x - 3 \ge 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы при условии $x \ge \frac{3}{5}$ (заметим, что при этом $2x + 1 > 0$): $$ (5x - 3)(2x + 1) = x + 5 $$ Раскроем скобки: $$ 10x^2 + 5x - 6x - 3 = x + 5 $$ $$ 10x^2 - x - 3 = x + 5 $$ $$ 10x^2 - 2x - 8 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на 2: $$ 5x^2 - x - 4 = 0 $$ Найдём корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0{,}8 $$ Проверим условие $x \ge \frac{3}{5} = 0{,}6$: * $x_1 = 1 \ge 0{,}6$ — корень удовлетворяет условию; * $x_2 = -0{,}8 < 0{,}6$ — посторонний корень. Ответ: $1$. --- б) $\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} - \sqrt{x+4} = 0$ Перенесём второй корень в правую часть уравнения: $$ \sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} = \sqrt{x+4} $$ Перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} \dfrac{x+7}{3x+5} = x + 4, \\ x + 4 \ge 0, \\ 3x + 5 \ne 0 \end{cases} $$ Из условия неотрицательности получаем $x \ge -4$. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3x + 5)$: $$ (x + 4)(3x + 5) = x + 7 $$ Раскроем скобки: $$ 3x^2 + 5x + 12x + 20 = x + 7 $$ $$ 3x^2 + 17x + 20 = x + 7 $$ $$ 3x^2 + 16x + 13 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13 = 256 - 156 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{-16 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 $$ $$ x_2 = \frac{-16 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} $$ Проверим ограничения $x \ge -4$ и $3x + 5 \ne 0$: * $x_1 = -1 \ge -4$ и $3(-1) + 5 = 2 \ne 0$ — корень удовлетворяет условиям; * $x_2 = -4\frac{1}{3} < -4$ — посторонний корень. Ответ: $-1$.