ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 133

а) $(2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1) \sqrt{\operatorname{tg} x} = 0$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а функция тангенса определена: $$ \begin{cases} \operatorname{tg} x \ge 0, \\ \cos x \ne 0. \end{cases} $$ Это условие означает, что угол $x$ лежит в I или III координатной четверти (включая точки, где $\sin x = 0$): $$ x \in \left[\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом имеет смысл: 1) $\sqrt{\operatorname{tg} x} = 0$ $$ \operatorname{tg} x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Эти значения удовлетворяют ОДЗ. 2) $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0$ Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$: $$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} $$ Вернемся к переменной $x$: - Если $\sin x = 1$, то: $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}. $$ Однако при этих значениях $\cos x = 0$, то есть $\operatorname{tg} x$ не существует. Значит, эти корни не входят в ОДЗ (посторонние корни). - Если $\sin x = \frac{1}{2}$, то: $$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ Проверим условие $\operatorname{tg} x \ge 0$: - Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (угол лежит в I четверти): $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ — условие выполняется. - Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (угол лежит во II четверти): $\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ — условие не выполняется (посторонний корень). Ответ к пункту а: $x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. б) $(2 \cos^2 x - \cos x - 1) \sqrt{\operatorname{ctg} x} = 0$ Найдем ОДЗ уравнения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а функция котангенса определена: $$ \begin{cases} \operatorname{ctg} x \ge 0, \\ \sin x \ne 0. \end{cases} $$ Это условие означает, что угол $x$ лежит в I или III координатной четверти (включая точки, где $\cos x = 0$): $$ x \in \left(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Приравниваем множители к нулю с учетом ОДЗ: 1) $\sqrt{\operatorname{ctg} x} = 0$ $$ \operatorname{ctg} x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Эти значения удовлетворяют ОДЗ. 2) $2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ Сделаем замену $u = \cos x$, где $-1 \le u \le 1$: $$ 2u^2 - u - 1 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ $$ u_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1, \quad u_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} $$ Вернемся к переменной $x$: - Если $\cos x = 1$, то: $$ x = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}. $$ В этих точках $\sin x = 0$, поэтому $\operatorname{ctg} x$ не существует. Следовательно, эти значения не входят в ОДЗ (посторонние корни). - Если $\cos x = -\frac{1}{2}$, то: $$ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. $$ Проверим условие $\operatorname{ctg} x \ge 0$: - Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (угол лежит во II четверти): $\operatorname{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ — условие не выполняется (посторонний корень). - Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ (угол лежит в III четверти): $\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ — условие выполняется. Ответ к пункту б: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.