ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 131

а) $(7 \sin x - 4\sqrt{3})(7 \sin x - 5\sqrt{2}) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 7 \sin x - 4\sqrt{3} = 0 \quad \text{или} \quad 7 \sin x - 5\sqrt{2} = 0 $$ 1) Решим первое уравнение: $$ 7 \sin x = 4\sqrt{3} \implies \sin x = \frac{4\sqrt{3}}{7} $$ Так как $4\sqrt{3} = \sqrt{48} < \sqrt{49} = 7$, то $\left|\frac{4\sqrt{3}}{7}\right| < 1$, следовательно, уравнение имеет решения: $$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Решим второе уравнение: $$ 7 \sin x = 5\sqrt{2} \implies \sin x = \frac{5\sqrt{2}}{7} $$ Так как $5\sqrt{2} = \sqrt{50} > \sqrt{49} = 7$, то $\frac{5\sqrt{2}}{7} > 1$. Поскольку для любого действительного $x$ выполняется неравенство $|\sin x| \le 1$, данное уравнение корней не имеет. Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. б) $(5 \cos x - 3\sqrt{3})(5 \cos x - 2\sqrt{6}) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 5 \cos x - 3\sqrt{3} = 0 \quad \text{или} \quad 5 \cos x - 2\sqrt{6} = 0 $$ 1) Решим первое уравнение: $$ 5 \cos x = 3\sqrt{3} \implies \cos x = \frac{3\sqrt{3}}{5} $$ Так как $3\sqrt{3} = \sqrt{27} > \sqrt{25} = 5$, то $\frac{3\sqrt{3}}{5} > 1$. Так как $|\cos x| \le 1$, данное уравнение решений не имеет. 2) Решим второе уравнение: $$ 5 \cos x = 2\sqrt{6} \implies \cos x = \frac{2\sqrt{6}}{5} $$ Так как $2\sqrt{6} = \sqrt{24} < \sqrt{25} = 5$, то $\left|\frac{2\sqrt{6}}{5}\right| < 1$, следовательно, уравнение имеет решения: $$ x = \pm \arccos\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.