ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 12

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$ Условие $f(x) \ge 0$ выполняется автоматически, так как $f(x) > g(x) \ge 0$. --- ### а) $\sqrt{-x^2 - 5x} > \sqrt{-x - 3}$ Составим равносильную систему неравенств: $$ \begin{cases} -x^2 - 5x > -x - 3 \\ -x - 3 \ge 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство системы: $-x^2 - 5x + x + 3 > 0$ $-x^2 - 4x + 3 > 0$ $x^2 + 4x - 3 < 0$ Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 3 = 0$: $D_1 = 2^2 - 1 \cdot (-3) = 4 + 3 = 7$ $x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{7}$ Так как знак неравенства $< 0$, получаем интервал между корнями: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -2 + \sqrt{7})$ 2. Решим второе неравенство: $-x \ge 3 \implies x \le -3$ 3. Пересечем полученные решения: Так как $\sqrt{7} \approx 2{,}65$, то $-2 - \sqrt{7} \approx -4{,}65$, а $-2 + \sqrt{7} \approx 0{,}65$. Следовательно, $-2 - \sqrt{7} < -3 < -2 + \sqrt{7}$. Пересечением промежутков $(-2 - \sqrt{7}; -2 + \sqrt{7})$ и $(-\infty; -3]$ является: $x \in (-2 - \sqrt{7}; -3]$ **Ответ:** $(-2 - \sqrt{7}; -3]$ --- ### б) $\sqrt{x^2 - 6x} > \sqrt{-x - 1}$ Составим равносильную систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 6x > -x - 1 \\ -x - 1 \ge 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + x + 1 > 0$ $x^2 - 5x + 1 > 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 1 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$ $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ Решением неравенства $x^2 - 5x + 1 > 0$ является: $x \in \left(-\infty; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) \cup \left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}; +\infty\right)$ 2. Решим второе неравенство: $-x \ge 1 \implies x \le -1$ 3. Пересечем полученные решения: Оценим значение корня: так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $0 < 5 - \sqrt{21} < 1$, следовательно, $\frac{5 - \sqrt{21}}{2} > 0$. Тогда точка $-1$ лежит левее корня $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ (то есть $-1 < \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$). Таким образом, луч $(-\infty; -1]$ полностью входит в промежуток $\left(-\infty; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)$. Пересечение: $x \in (-\infty; -1]$ **Ответ:** $(-\infty; -1]$ --- ### в) $\sqrt{x^2 - x} > \sqrt{3x - 1}$ Составим равносильную систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - x > 3x - 1 \\ 3x - 1 \ge 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $x^2 - x - 3x + 1 > 0$ $x^2 - 4x + 1 > 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$: $D_1 = (-2)^2 - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3$ $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3}$ Решением неравенства $x^2 - 4x + 1 > 0$ является: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}; +\infty)$ 2. Решим второе неравенство: $3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$ 3. Пересечем полученные решения: Сравним $\frac{1}{3}$ и $2 - \sqrt{3}$: $\sqrt{3} \approx 1{,}732 \implies 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268$. Так как $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$, то $2 - \sqrt{3} < \frac{1}{3}$. Кроме того, $\frac{1}{3} < 2 + \sqrt{3}$. Следовательно, промежуток $(-\infty; 2 - \sqrt{3})$ не пересекается с $\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$. Пересечением является только интервал: $x \in (2 + \sqrt{3}; +\infty)$ **Ответ:** $(2 + \sqrt{3}; +\infty)$ --- ### г) $\sqrt{x^2 - 7x} > \sqrt{-x - 2}$ Составим равносильную систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 7x > -x - 2 \\ -x - 2 \ge 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $x^2 - 7x + x + 2 > 0$ $x^2 - 6x + 2 > 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 2 = 0$: $D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot 2 = 9 - 2 = 7$ $x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{7}$ Решением неравенства $x^2 - 6x + 2 > 0$ является: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{7}) \cup (3 + \sqrt{7}; +\infty)$ 2. Решим второе неравенство: $-x \ge 2 \implies x \le -2$ 3. Пересечем полученные решения: Оценим $3 - \sqrt{7}$: так как $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$, то $3 - \sqrt{7} > 0$. Следовательно, $-2 < 3 - \sqrt{7}$. Таким образом, луч $(-\infty; -2]$ целиком лежит внутри промежутка $(-\infty; 3 - \sqrt{7})$. Пересечение: $x \in (-\infty; -2]$ **Ответ:** $(-\infty; -2]$