ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 15

### а) $\sqrt{x} < \sqrt[4]{x+3}$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases} \iff x \ge 0 $$ 2. При $x \ge 0$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому возведем их в четвертую степень с сохранением знака неравенства: $$ (\sqrt{x})^4 < (\sqrt[4]{x+3})^4 $$ $$ x^2 < x + 3 $$ $$ x^2 - x - 3 < 0 $$ 3. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 3 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13 $$ $$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} $$ Решением неравенства $x^2 - x - 3 < 0$ является интервал: $$ x \in \left(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right) $$ 4. Учтем ОДЗ ($x \ge 0$). Так как $\sqrt{13} > 1$, то $\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < 0$. Пересекая решение с ОДЗ, получаем: $$ x \in \left[0; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right) $$ **Ответ:** $\left[0; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right)$ --- ### б) $\sqrt{x} > \sqrt[4]{x+4}$ 1. Найдем область допустимых значений: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \end{cases} \iff x \ge 0 $$ 2. Обе части неотрицательны при всех $x \ge 0$. Возведем обе части в четвертую степень: $$ (\sqrt{x})^4 > (\sqrt[4]{x+4})^4 $$ $$ x^2 > x + 4 $$ $$ x^2 - x - 4 > 0 $$ 3. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 4 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 $$ $$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} $$ Решением строгого неравенства $x^2 - x - 4 > 0$ является: $$ x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty\right) $$ 4. Учтем ОДЗ ($x \ge 0$). Поскольку $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} < 0$, получаем: $$ x \in \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty\right) $$ **Ответ:** $\left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}; +\infty\right)$ --- ### в) $\sqrt{x+1} > \sqrt[3]{2x+1}$ 1. Найдем ОДЗ: подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1 $$ 2. Для корня третьей степени знак подкоренного выражения может быть любым. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части: * **Случай 1:** правая часть отрицательна, то есть $2x + 1 < 0 \iff x < -0{,}5$. С учетом ОДЗ получаем $x \in [-1; -0{,}5)$. При этих значениях $x$ левая часть неотрицательна ($\sqrt{x+1} \ge 0$), а правая часть строго отрицательна ($\sqrt[3]{2x+1} < 0$). Неравенство вида «неотрицательное > отрицательного» верно при всех $x \in [-1; -0{,}5)$. * **Случай 2:** правая часть неотрицательна, то есть $2x + 1 \ge 0 \iff x \ge -0{,}5$. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возведем их в шестую степень: $$ (\sqrt{x+1})^6 > (\sqrt[3]{2x+1})^6 $$ $$ (x+1)^3 > (2x+1)^2 $$ $$ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 > 4x^2 + 4x + 1 $$ $$ x^3 - x^2 - x > 0 $$ $$ x(x^2 - x - 1) > 0 $$ Корни многочлена: $x = 0$ и $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так как $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}62$, расставим корни по возрастанию: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, $0$, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. По методу интервалов решением неравенства $x(x^2 - x - 1) > 0$ является: $$ x \in \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right) $$ Пересечем это множество с условием случая 2 ($x \ge -0{,}5$): так как $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < -0{,}5$, получаем промежутки: $$ [-0{,}5; 0) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right) $$ 3. Объединим решения из обоих случаев: $$ [-1; -0{,}5) \cup [-0{,}5; 0) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right) = [-1; 0) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right) $$ **Ответ:** $[-1; 0) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right)$ --- ### г) $\sqrt{x} < \sqrt[3]{3x-2}$ 1. Найдем ОДЗ: $$ x \ge 0 $$ 2. Левая часть $\sqrt{x} \ge 0$ при всех допустимых $x$. Чтобы строгое неравенство $\sqrt{x} < \sqrt[3]{3x-2}$ выполнялось, правая часть обязана быть строго положительной: $$ \sqrt[3]{3x-2} > 0 \iff 3x - 2 > 0 \iff x > \frac{2}{3} $$ *(Если $x \le \frac{2}{3}$, то правая часть неположительна, и неотрицательное число $\sqrt{x}$ не может быть меньше ее).* 3. При $x > \frac{2}{3}$ обе части положительны, возведем их в шестую степень: $$ (\sqrt{x})^6 < (\sqrt[3]{3x-2})^6 $$ $$ x^3 < (3x-2)^2 $$ $$ x^3 < 9x^2 - 12x + 4 $$ $$ x^3 - 9x^2 + 12x - 4 < 0 $$ 4. Разложим многочлен на множители. Подбором находим корень $x = 1$: $$ 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 12 \cdot 1 - 4 = 1 - 9 + 12 - 4 = 0 $$ Разделим $x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ на $(x - 1)$: $$ x^3 - 9x^2 + 12x - 4 = (x - 1)(x^2 - 8x + 4) $$ Найдем корни трехчлена $x^2 - 8x + 4 = 0$: $$ \frac{D}{4} = (-4)^2 - 1 \cdot 4 = 16 - 4 = 12 $$ $$ x = 4 \pm \sqrt{12} = 4 \pm 2\sqrt{3} $$ Таким образом, неравенство принимает вид: $$ (x - (4 - 2\sqrt{3}))(x - 1)(x - (4 + 2\sqrt{3})) < 0 $$ По методу интервалов: $$ x \in (-\infty; 4 - 2\sqrt{3}) \cup (1; 4 + 2\sqrt{3}) $$ 5. Сравним число $4 - 2\sqrt{3}$ с числом $\frac{2}{3}$: $$ 4 - 2\sqrt{3} < \frac{2}{3} \iff \frac{10}{3} < 2\sqrt{3} \iff \frac{5}{3} < \sqrt{3} \iff \frac{25}{9} < 3 \quad \text{(верно, так как } 25 < 27\text{)} $$ Пересекая решение неравенства с условием $x > \frac{2}{3}$, получаем: $$ x \in (1; 4 + 2\sqrt{3}) $$ **Ответ:** $(1; 4 + 2\sqrt{3})$