ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 9
Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н.
Тип книги: Учебник
Год: 2016
Подробное решение номер / § 11 № 9 по алгебре для учащихся 11 класса Базовый и углубленный уровень, авторов Никольский, Потапов, Решетников 2016
ИИ-решебник / номер / § 11 / 9
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:
$$
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
g(x) < 0, \\
f(x) \ge 0;
\end{cases} \\
\begin{cases}
g(x) \ge 0, \\
f(x) > g^2(x).
\end{cases}
\end{gathered}
\right.
$$
---
### а) $\sqrt{x+1} > x-1$
Перейдём к совокупности систем:
$$
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
x - 1 < 0, \\
x + 1 \ge 0;
\end{cases} \\
\begin{cases}
x - 1 \ge 0, \\
x + 1 > (x - 1)^2.
\end{cases}
\end{gathered}
\right.
$$
Решим первую систему:
$$
\begin{cases}
x < 1, \\
x \ge -1
\end{cases}
\iff -1 \le x < 1.
$$
Решим вторую систему:
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
x + 1 > x^2 - 2x + 1;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
x^2 - 3x < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
x(x - 3) < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
0 < x < 3
\end{cases}
\iff 1 \le x < 3.
$$
Объединим решения обеих систем:
$[-1; 1) \cup [1; 3) = [-1; 3)$.
**Ответ:** $[-1; 3)$.
---
### б) $\sqrt{x+4} > x-2$
Перейдём к совокупности систем:
$$
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
x - 2 < 0, \\
x + 4 \ge 0;
\end{cases} \\
\begin{cases}
x - 2 \ge 0, \\
x + 4 > (x - 2)^2.
\end{cases}
\end{gathered}
\right.
$$
Решим первую систему:
$$
\begin{cases}
x < 2, \\
x \ge -4
\end{cases}
\iff -4 \le x < 2.
$$
Решим вторую систему:
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
x + 4 > x^2 - 4x + 4;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
x^2 - 5x < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
x(x - 5) < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
0 < x < 5
\end{cases}
\iff 2 \le x < 5.
$$
Объединим решения обеих систем:
$[-4; 2) \cup [2; 5) = [-4; 5)$.
**Ответ:** $[-4; 5)$.
---
### в) $\sqrt{2x+1} > x-1$
Перейдём к совокупности систем:
$$
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
x - 1 < 0, \\
2x + 1 \ge 0;
\end{cases} \\
\begin{cases}
x - 1 \ge 0, \\
2x + 1 > (x - 1)^2.
\end{cases}
\end{gathered}
\right.
$$
Решим первую систему:
$$
\begin{cases}
x < 1, \\
2x \ge -1;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x < 1, \\
x \ge -0{,}5
\end{cases}
\iff -0{,}5 \le x < 1.
$$
Решим вторую систему:
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
2x + 1 > x^2 - 2x + 1;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
x^2 - 4x < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
x(x - 4) < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 1, \\
0 < x < 4
\end{cases}
\iff 1 \le x < 4.
$$
Объединим решения обеих систем:
$[-0{,}5; 1) \cup [1; 4) = [-0{,}5; 4)$.
**Ответ:** $[-0{,}5; 4)$.
---
### г) $\sqrt{3x+4} > x-2$
Перейдём к совокупности систем:
$$
\left[
\begin{gathered}
\begin{cases}
x - 2 < 0, \\
3x + 4 \ge 0;
\end{cases} \\
\begin{cases}
x - 2 \ge 0, \\
3x + 4 > (x - 2)^2.
\end{cases}
\end{gathered}
\right.
$$
Решим первую систему:
$$
\begin{cases}
x < 2, \\
3x \ge -4;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x < 2, \\
x \ge -\dfrac{4}{3}
\end{cases}
\iff -\dfrac{4}{3} \le x < 2.
$$
Решим вторую систему:
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
3x + 4 > x^2 - 4x + 4;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
x^2 - 7x < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
x(x - 7) < 0;
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
x \ge 2, \\
0 < x < 7
\end{cases}
\iff 2 \le x < 7.
$$
Объединим решения обеих систем:
$\left[-\dfrac{4}{3}; 2\right) \cup [2; 7) = \left[-\dfrac{4}{3}; 7\right)$.
**Ответ:** $\left[-1\dfrac{1}{3}; 7\right)$ (или $\left[-\dfrac{4}{3}; 7\right)$).
Оцени решение:
Спасибо за оценку!
