ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 14

а) $\sqrt{6x-3} < |x+1|$ Так как обе части неравенства неотрицательны при всех допустимых значениях $x$, неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} 6x - 3 \ge 0 \\ 6x - 3 < |x + 1|^2 \end{cases} $$ Учитывая, что $|x + 1|^2 = (x + 1)^2$, получаем: $$ \begin{cases} 6x \ge 3 \\ 6x - 3 < x^2 + 2x + 1 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1. $x \ge \frac{1}{2}$ 2. $x^2 - 4x + 4 > 0 \iff (x - 2)^2 > 0$ Неравенство $(x - 2)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 2$. Пересечем полученные решения: $$ \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \ne 2 \end{cases} \iff x \in \left[\frac{1}{2}; 2\right) \cup (2; +\infty) $$ Ответ: $\left[\frac{1}{2}; 2\right) \cup (2; +\infty)$. б) $\sqrt{6+3x} > |2x+1|$ Поскольку $|2x + 1| \ge 0$, а при возведении в квадрат неравенство принимает вид $6 + 3x > (2x + 1)^2 \ge 0$, условие неотрицательности подкоренного выражения $6 + 3x \ge 0$ выполняется автоматически. Неравенство равносильно следующему: $$ 6 + 3x > (2x + 1)^2 $$ $$ 6 + 3x > 4x^2 + 4x + 1 $$ $$ 4x^2 + x - 5 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $4x^2 + x - 5 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 - 9}{8} = -\frac{5}{4} = -1{,}25, \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{8} = 1 $$ Решением неравенства $4x^2 + x - 5 < 0$ является интервал между корнями: $$ x \in \left(-\frac{5}{4}; 1\right) $$ Ответ: $\left(-\frac{5}{4}; 1\right)$. в) $\sqrt{5x-1} > |3x-1|$ Обе части неравенства неотрицательны, а из условия $5x - 1 > (3x - 1)^2 \ge 0$ следует, что подкоренное выражение заведомо положительно. Перейдем к равносильному неравенству: $$ 5x - 1 > (3x - 1)^2 $$ $$ 5x - 1 > 9x^2 - 6x + 1 $$ $$ 9x^2 - 11x + 2 < 0 $$ Найдем корни уравнения $9x^2 - 11x + 2 = 0$: $$ D = (-11)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 121 - 72 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{11 - 7}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}, \quad x_2 = \frac{11 + 7}{18} = 1 $$ Решением строгого неравенства является интервал: $$ x \in \left(\frac{2}{9}; 1\right) $$ Ответ: $\left(\frac{2}{9}; 1\right)$. г) $\sqrt{7x+2} > |x+2|$ Так как правая часть неотрицательна, возводим обе части неравенства в квадрат. Условие $7x + 2 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $7x + 2 > (x + 2)^2 \ge 0$: $$ 7x + 2 > (x + 2)^2 $$ $$ 7x + 2 > x^2 + 4x + 4 $$ $$ x^2 - 3x + 2 < 0 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (x - 1)(x - 2) < 0 $$ Отсюда получаем: $$ x \in (1; 2) $$ Ответ: $(1; 2)$.