ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 11

**а)** $\sqrt{6x+7}>x+2$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \geqslant 0, \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Применим эту схему к данному неравенству: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x + 2 < 0, \\ 6x + 7 \geqslant 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x + 2 \geqslant 0, \\ 6x + 7 > (x + 2)^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < -2, \\ x \geqslant -\dfrac{7}{6} \end{cases} $$ Так как $-\dfrac{7}{6} \approx -1{,}17 > -2$, система не имеет решений ($x \in \varnothing$). Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \geqslant -2, \\ 6x + 7 > x^2 + 4x + 4 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство: $$ x^2 - 2x - 3 < 0 $$ Корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Решением неравенства является интервал $(-1; 3)$. Пересечем с условием $x \geqslant -2$: $$ \begin{cases} x \geqslant -2, \\ -1 < x < 3 \end{cases} \implies x \in (-1; 3) $$ Объединяя решения обеих систем, получаем $x \in (-1; 3)$. Ответ: $x \in (-1; 3)$. --- **б)** $\sqrt{5x+6}>x+2$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x + 2 < 0, \\ 5x + 6 \geqslant 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x + 2 \geqslant 0, \\ 5x + 6 > (x + 2)^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < -2, \\ x \geqslant -1{,}2 \end{cases} $$ Так как $-1{,}2 > -2$, решений нет ($x \in \varnothing$). Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \geqslant -2, \\ 5x + 6 > x^2 + 4x + 4 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -2, \\ x^2 - x - 2 < 0 \end{cases} $$ Корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Решением неравенства $x^2 - x - 2 < 0$ является интервал $(-1; 2)$. Пересекаем с $x \geqslant -2$: $$ \begin{cases} x \geqslant -2, \\ -1 < x < 2 \end{cases} \implies x \in (-1; 2) $$ Объединяя результаты двух систем, получаем $x \in (-1; 2)$. Ответ: $x \in (-1; 2)$. --- **в)** $\sqrt{6x-2}>x+1$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x + 1 < 0, \\ 6x - 2 \geqslant 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x + 1 \geqslant 0, \\ 6x - 2 > (x + 1)^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < -1, \\ x \geqslant \dfrac{1}{3} \end{cases} $$ Промежутки $x < -1$ и $x \geqslant \dfrac{1}{3}$ не пересекаются, решений нет ($x \in \varnothing$). Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 6x - 2 > x^2 + 2x + 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ x^2 - 4x + 3 < 0 \end{cases} $$ Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Решением неравенства $x^2 - 4x + 3 < 0$ является интервал $(1; 3)$. Пересекаем с условием $x \geqslant -1$: $$ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 1 < x < 3 \end{cases} \implies x \in (1; 3) $$ Объединяя результаты, получаем $x \in (1; 3)$. Ответ: $x \in (1; 3)$. --- **г)** $\sqrt{5x-1}>x+1$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x + 1 < 0, \\ 5x - 1 \geqslant 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x + 1 \geqslant 0, \\ 5x - 1 > (x + 1)^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Решим первую систему: $$ \begin{cases} x < -1, \\ x \geqslant 0{,}2 \end{cases} $$ Условия несовместны, решений нет ($x \in \varnothing$). Решим вторую систему: $$ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 5x - 1 > x^2 + 2x + 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ x^2 - 3x + 2 < 0 \end{cases} $$ Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Решением неравенства $x^2 - 3x + 2 < 0$ является интервал $(1; 2)$. Пересекаем с $x \geqslant -1$: $$ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 1 < x < 2 \end{cases} \implies x \in (1; 2) $$ Объединяя результаты двух систем, получаем $x \in (1; 2)$. Ответ: $x \in (1; 2)$.