ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 12

а) Преобразуем произведение котангенсов с помощью формул приведения: $$ \text{ctg}\,70^\circ = \text{ctg}\,(90^\circ - 20^\circ) = \text{tg}\,20^\circ $$ $$ \text{ctg}\,245^\circ = \text{ctg}\,(180^\circ + 65^\circ) = \text{ctg}\,65^\circ = \text{ctg}\,(90^\circ - 25^\circ) = \text{tg}\,25^\circ $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ \text{tg}\,20^\circ + \text{tg}\,25^\circ + \text{tg}\,20^\circ \text{tg}\,25^\circ $$ Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $$ \text{tg}\,(20^\circ + 25^\circ) = \frac{\text{tg}\,20^\circ + \text{tg}\,25^\circ}{1 - \text{tg}\,20^\circ \text{tg}\,25^\circ} $$ Так как $\text{tg}\,(20^\circ + 25^\circ) = \text{tg}\,45^\circ = 1$, получаем равенство: $$ \frac{\text{tg}\,20^\circ + \text{tg}\,25^\circ}{1 - \text{tg}\,20^\circ \text{tg}\,25^\circ} = 1 $$ Отсюда: $$ \text{tg}\,20^\circ + \text{tg}\,25^\circ = 1 - \text{tg}\,20^\circ \text{tg}\,25^\circ $$ $$ \text{tg}\,20^\circ + \text{tg}\,25^\circ + \text{tg}\,20^\circ \text{tg}\,25^\circ = 1 $$ Ответ: $1$. б) Преобразуем аргументы тригонометрических функций и логарифмы: 1. По формуле приведения: $$ \sin 82^\circ 30' = \sin(90^\circ - 7^\circ 30') = \cos 7^\circ 30' $$ $$ \sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ $$ 2. Преобразуем логарифм по основанию $0{,}5 = 2^{-1}$: $$ -\log_{0,5} \sin 75^\circ = -\log_{2^{-1}} \cos 15^\circ = -(-1)\log_2 \cos 15^\circ = \log_2 \cos 15^\circ $$ 3. Подставим полученные выражения: $$ 2 + \log_2 \sin 7^\circ 30' + \log_2 \cos 7^\circ 30' + \log_2 \cos 15^\circ = 2 + \log_2 (\sin 7^\circ 30' \cos 7^\circ 30' \cos 15^\circ) $$ 4. Используем формулу синуса двойного угла $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$: $$ \sin 7^\circ 30' \cos 7^\circ 30' = \frac{1}{2}\sin 15^\circ $$ Тогда под знаком логарифма получаем: $$ \frac{1}{2}\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin 30^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$ 5. Вычислим значение всего выражения: $$ 2 + \log_2 \frac{1}{8} = 2 + \log_2 (2^{-3}) = 2 - 3 = -1 $$ Ответ: $-1$. в) Пусть $\alpha = \arccos \frac{1}{3}$ и $\beta = \text{arctg}\,2$. Требуется найти $\sin(\alpha - \beta)$. 1. Так как $\alpha = \arccos \frac{1}{3}$, то $\cos \alpha = \frac{1}{3}$, причём $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Найдем $\sin \alpha$: $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ 2. Так как $\beta = \text{arctg}\,2$, то $\text{tg}\,\beta = 2$, причём $\beta \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Найдем $\cos \beta$ и $\sin \beta$: $$ 1 + \text{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} \implies \cos^2 \beta = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5} \implies \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5}} $$ $$ \sin \beta = \text{tg}\,\beta \cdot \cos \beta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $$ 3. Применим формулу синуса разности: $$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$ $$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{3\sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5})}{15} $$ Ответ: $\frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5})}{15}$ (или $\frac{2\sqrt{2} - 2}{3\sqrt{5}}$).