ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 980

Пусть искомые четыре числа равны $a$, $b$, $c$, $d$. По условию задачи: 1. Числа $a$, $b$, $c$ являются последовательными членами геометрической прогрессии, следовательно, по её характеристическому свойству: $$ b^2 = a \cdot c $$ 2. Числа $b$, $c$, $d$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, следовательно: $$ 2c = b + d $$ 3. Сумма первого и четвёртого чисел равна $16$: $$ a + d = 16 \implies d = 16 - a $$ 4. Сумма второго и третьего чисел равна $12$: $$ b + c = 12 \implies b = 12 - c $$ Подставим выражения для $b$ и $d$ в равенство $2c = b + d$: $$ 2c = (12 - c) + (16 - a) $$ $$ 2c = 28 - c - a $$ $$ 3c = 28 - a \implies a = 28 - 3c $$ Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ через $c$ в характеристическое свойство геометрической прогрессии $b^2 = ac$: $$ (12 - c)^2 = (28 - 3c) \cdot c $$ $$ 144 - 24c + c^2 = 28c - 3c^2 $$ $$ 4c^2 - 52c + 144 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $4$: $$ c^2 - 13c + 36 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} c_1 + c_2 = 13 \\ c_1 \cdot c_2 = 36 \end{cases} \implies c_1 = 4, \quad c_2 = 9 $$ Рассмотрим оба случая: **Случай 1:** $c = 4$ $$ b = 12 - 4 = 8 $$ $$ a = 28 - 3 \cdot 4 = 16 $$ $$ d = 16 - 16 = 0 $$ Получаем числа: $16, 8, 4, 0$. Проверка: - $16, 8, 4$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{2}$; - $8, 4, 0$ — арифметическая прогрессия с разностью $d = -4$; - $a + d = 16 + 0 = 16$; - $b + c = 8 + 4 = 12$. **Случай 2:** $c = 9$ $$ b = 12 - 9 = 3 $$ $$ a = 28 - 3 \cdot 9 = 1 $$ $$ d = 16 - 1 = 15 $$ Получаем числа: $1, 3, 9, 15$. Проверка: - $1, 3, 9$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 3$; - $3, 9, 15$ — арифметическая прогрессия с разностью $d = 6$; - $a + d = 1 + 15 = 16$; - $b + c = 3 + 9 = 12$. Ответ: $16, 8, 4, 0$ или $1, 3, 9, 15$.