ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 983

Пусть площадь исходного треугольника равна $S_0 = 12\text{ см}^2$. 1. Отрезки, соединяющие середины сторон треугольника, являются его средними линиями. Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $$ \frac{S_1}{S_0} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$ Отсюда площадь первого треугольника, полученного таким построением: $$ S_1 = \frac{1}{4} S_0 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3\text{ см}^2 $$ 2. Во вновь полученном треугольнике построение повторяется, следовательно, площадь каждого последующего треугольника составляет $\frac{1}{4}$ от площади предыдущего: $$ S_2 = \frac{1}{4} S_1 = \frac{3}{4}\text{ см}^2 $$ $$ S_3 = \frac{1}{4} S_2 = \frac{3}{16}\text{ см}^2 \quad \text{и т. д.} $$ 3. Площади всех треугольников, получающихся в результате таких построений, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию $(b_n)$, у которой: - первый член: $b_1 = S_1 = 3\text{ см}^2$, - знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{4}$ ($|q| < 1$). Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: $$ S = \frac{b_1}{1 - q} $$ Подставим значения: $$ S = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4\text{ см}^2 $$ *(Примечание: если условие задачи подразумевает учет площади и самого исходного треугольника, то сумма равна $S_0 + S = 12 + 4 = 16\text{ см}^2$)*. Ответ: $4\text{ см}^2$ (или $16\text{ см}^2$, включая исходный треугольник).