ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 981

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель ($b_1 \neq 0$, $q \neq 0$). Члены геометрической прогрессии выражаются по формуле $n$-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$: $$ b_5 = b_1 q^4, \quad b_8 = b_1 q^7, \quad b_{11} = b_1 q^{10} $$ Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию задачи: $$ a_1 = b_5 = b_1 q^4 $$ $$ a_2 = b_8 = b_1 q^7 $$ $$ a_{10} = b_{11} = b_1 q^{10} $$ Выразим разность арифметической прогрессии $d$: $$ d = a_2 - a_1 = b_1 q^7 - b_1 q^4 = b_1 q^4(q^3 - 1) $$ По формуле $n$-го члена арифметической прогрессии $a_{10} = a_1 + 9d$. Подставим известные выражения: $$ b_1 q^{10} = b_1 q^4 + 9 b_1 q^4(q^3 - 1) $$ Так как $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, разделим обе части уравнения на $b_1 q^4$: $$ q^6 = 1 + 9(q^3 - 1) $$ $$ q^6 = 1 + 9q^3 - 9 $$ $$ q^6 - 9q^3 + 8 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = q^3$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 9t + 8 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 8 $$ Вернемся к переменной $q$: 1) Если $q^3 = 1$, то $q = 1$. В этом случае все члены геометрической прогрессии равны между собой: $b_1 = b_2 = \dots = b_5$. Сумма первых пяти членов: $$ S_5 = 5b_1 $$ По условию $S_5 = 62$: $$ 5b_1 = 62 \implies b_1 = \frac{62}{5} = 12,4 $$ (При этом $d = 0$, и арифметическая прогрессия также состоит из равных членов: $a_1 = a_2 = \dots = a_{10} = 12,4$, что удовлетворяет условию). 2) Если $q^3 = 8$, то $q = 2$. Так как $q \neq 1$, применим формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $$ S_5 = \frac{b_1(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{b_1(32 - 1)}{1} = 31b_1 $$ По условию $S_5 = 62$: $$ 31b_1 = 62 \implies b_1 = 2 $$ Ответ: $2$ или $12,4$.