ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 949

Найдем область допустимых значений системы: $$ \begin{cases} y - 3 > 0, \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y > 3, \\ x > 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы с учетом ОДЗ: $$ \log_3(y - 3) - 2\log_9 x = 0. $$ Используя свойство логарифма $\log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x$, получаем: $$ 2\log_9 x = 2\log_{3^2} x = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_3 x = \log_3 x. $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ \log_3(y - 3) - \log_3 x = 0 \iff \log_3(y - 3) = \log_3 x \iff y - 3 = x \iff y = x + 3. $$ Заметим, что условие $y > 3$ при $y = x + 3$ выполняется автоматически, так как $x + 3 > 3 \iff x > 0$. Подставим выражение $y = x + 3$ во второе уравнение системы: $$ (x + a)^2 - 2(x + 3) - 5a = 0; $$ $$ x^2 + 2ax + a^2 - 2x - 6 - 5a = 0; $$ $$ x^2 + 2(a - 1)x + a^2 - 5a - 6 = 0. $$ Система имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($x > 0$). Найдем дискриминант уравнения: $$ \frac{D}{4} = (a - 1)^2 - (a^2 - 5a - 6) = a^2 - 2a + 1 - a^2 + 5a + 6 = 3a + 7. $$ Уравнение имеет действительные корни, если $\frac{D}{4} \ge 0$: $$ 3a + 7 \ge 0 \iff a \ge -\frac{7}{3}. $$ Корни уравнения выражаются формулой: $$ x_{1, 2} = -(a - 1) \pm \sqrt{3a + 7} = 1 - a \pm \sqrt{3a + 7}. $$ Больший корень уравнения равен $x_2 = 1 - a + \sqrt{3a + 7}$. Для того чтобы хотя бы один корень был положительным, необходимо и достаточно, чтобы больший корень удовлетворял условию $x_2 > 0$: $$ 1 - a + \sqrt{3a + 7} > 0 \iff \sqrt{3a + 7} > a - 1. $$ Решим полученное неравенство при условии $a \ge -\frac{7}{3}$: 1. Если правая часть строго отрицательна, то есть: $$ a - 1 < 0 \iff a < 1, $$ то при всех $a \in \left[-\frac{7}{3}; 1\right)$ левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, следовательно, неравенство выполняется. 2. Если правая часть неотрицательна, то есть: $$ a - 1 \ge 0 \iff a \ge 1, $$ то обе части неравенства неотрицательны, и можно возвести их в квадрат: $$ 3a + 7 > (a - 1)^2; $$ $$ 3a + 7 > a^2 - 2a + 1; $$ $$ a^2 - 5a - 6 < 0; $$ $$ (a - 6)(a + 1) < 0 \iff -1 < a < 6. $$ С учетом условия $a \ge 1$ получаем: $$ 1 \le a < 6. $$ Объединяя решения обоих случаев, находим допустимые значения параметра $a$: $$ a \in \left[-\frac{7}{3}; 1\right) \cup [1; 6) = \left[-\frac{7}{3}; 6\right). $$ Ответ: $a \in \left[-\frac{7}{3}; 6\right)$ (или $-2\frac{1}{3} \le a < 6$).