ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 952

### 1) $$ \begin{cases} 3^{x+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8, \\ \sqrt{x + y^2} = x + y. \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение системы: $$ \sqrt{x + y^2} = x + y $$ Арифметический квадратный корень принимает неотрицательные значения, поэтому должно выполняться условие: $$ x + y \ge 0 $$ При этом условии возведём обе части уравнения в квадрат: $$ x + y^2 = (x + y)^2 $$ $$ x + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$ $$ x - x^2 - 2xy = 0 $$ $$ x(1 - x - 2y) = 0 $$ Отсюда получаем два возможных случая: $x = 0$ или $1 - x - 2y = 0$. **Случай 1:** $x = 0$. Условие $x + y \ge 0$ принимает вид $y \ge 0$. Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы: $$ 3^{0+y+1} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8 $$ $$ 3 \cdot 3^y + \frac{7}{9} \cdot 3^y = 8 $$ $$ 3^y \left(3 + \frac{7}{9}\right) = 8 $$ $$ 3^y \cdot \frac{34}{9} = 8 $$ $$ 3^y = \frac{8 \cdot 9}{34} = \frac{36}{17} $$ $$ y = \log_3 \frac{36}{17} $$ Так как $\frac{36}{17} > 1$, то $y = \log_3 \frac{36}{17} > 0$, условие $y \ge 0$ выполняется. Получаем решение: $\left(0; \log_3 \frac{36}{17}\right)$. **Случай 2:** $1 - x - 2y = 0 \implies x = 1 - 2y$. Условие $x + y \ge 0$ принимает вид: $$ (1 - 2y) + y \ge 0 \implies 1 - y \ge 0 \implies y \le 1 $$ Подставим $x = 1 - 2y$ в первое уравнение системы. Заметим, что показатель степени равен: $$ x + y + 1 = 1 - 2y + y + 1 = 2 - y $$ Уравнение принимает вид: $$ 3^{2-y} + 7 \cdot 3^{y-2} = 8 $$ Так как $3^{2-y} = \frac{1}{3^{y-2}}$, сделаем замену переменной $t = 3^{y-2}$ ($t > 0$): $$ \frac{1}{t} + 7t = 8 $$ $$ 7t^2 - 8t + 1 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 = 6^2 $$ $$ t_1 = \frac{8 + 6}{14} = 1, \quad t_2 = \frac{8 - 6}{14} = \frac{1}{7} $$ Вернемся к переменной $y$: 1) $3^{y-2} = 1 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2$. Проверим условие $y \le 1$: неравенство $2 \le 1$ неверно, поэтому $y = 2$ — посторонний корень. 2) $3^{y-2} = \frac{1}{7} \implies y - 2 = \log_3 \frac{1}{7} = -\log_3 7 \implies y = 2 - \log_3 7 = \log_3 \frac{9}{7}$. Проверим условие $y \le 1$: $$ 2 - \log_3 7 \le 1 \iff \log_3 7 \ge 1 \iff 7 \ge 3 \quad \text{(верно)} $$ Найдем значение $x$: $$ x = 1 - 2y = 1 - 2(2 - \log_3 7) = 2\log_3 7 - 3 = \log_3 \frac{49}{27} $$ Получаем решение: $\left(\log_3 \frac{49}{27}; \log_3 \frac{9}{7}\right)$. **Ответ:** $\left(0; \log_3 \frac{36}{17}\right)$, $\left(\log_3 \frac{49}{27}; \log_3 \frac{9}{7}\right)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} 2^{x+y+1} + 7 \cdot 2^{y-5} = 4, \\ \sqrt{2x + y^2} = x + y. \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение системы: $$ \sqrt{2x + y^2} = x + y $$ Условие существования решений: $$ x + y \ge 0 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 2x + y^2 = (x + y)^2 $$ $$ 2x + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$ $$ x^2 + 2xy - 2x = 0 $$ $$ x(x + 2y - 2) = 0 $$ Отсюда $x = 0$ или $x + 2y - 2 = 0$. **Случай 1:** $x = 0$. Условие $x + y \ge 0$ принимает вид $y \ge 0$. Подставим $x = 0$ в первое уравнение: $$ 2^{0+y+1} + 7 \cdot 2^{y-5} = 4 $$ $$ 2 \cdot 2^y + \frac{7}{32} \cdot 2^y = 4 $$ $$ 2^y \left(2 + \frac{7}{32}\right) = 4 $$ $$ 2^y \cdot \frac{71}{32} = 4 $$ $$ 2^y = \frac{128}{71} $$ $$ y = \log_2 \frac{128}{71} $$ Так как $\frac{128}{71} > 1$, то $y > 0$, условие $y \ge 0$ выполняется. Получаем решение: $\left(0; \log_2 \frac{128}{71}\right)$. **Случай 2:** $x + 2y - 2 = 0 \implies x = 2 - 2y$. Условие $x + y \ge 0$ принимает вид: $$ (2 - 2y) + y \ge 0 \implies 2 - y \ge 0 \implies y \le 2 $$ Подставим $x = 2 - 2y$ в первое уравнение. Показатель степени: $$ x + y + 1 = 2 - 2y + y + 1 = 3 - y $$ Уравнение принимает вид: $$ 2^{3-y} + 7 \cdot 2^{y-5} = 4 $$ Преобразуем второе слагаемое: $$ 2^{y-5} = 2^{(y-3)-2} = \frac{1}{4} \cdot 2^{y-3} = \frac{1}{4 \cdot 2^{3-y}} $$ Пусть $t = 2^{3-y}$ ($t > 0$): $$ t + \frac{7}{4t} = 4 $$ $$ 4t^2 - 16t + 7 = 0 $$ Найдем корни: $$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 256 - 112 = 144 = 12^2 $$ $$ t_1 = \frac{16 + 12}{8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}, \quad t_2 = \frac{16 - 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$ Вернемся к переменной $y$: 1) $2^{3-y} = \frac{1}{2} \implies 3 - y = -1 \implies y = 4$. Проверим условие $y \le 2$: неравенство $4 \le 2$ неверно, поэтому $y = 4$ — посторонний корень. 2) $2^{3-y} = \frac{7}{2} \implies 3 - y = \log_2 \frac{7}{2} = \log_2 7 - 1 \implies y = 4 - \log_2 7 = \log_2 \frac{16}{7}$. Проверим условие $y \le 2$: $$ 4 - \log_2 7 \le 2 \iff \log_2 7 \ge 2 \iff 7 \ge 4 \quad \text{(верно)} $$ Найдем значение $x$: $$ x = 2 - 2y = 2 - 2(4 - \log_2 7) = 2\log_2 7 - 6 = \log_2 \frac{49}{64} $$ Получаем решение: $\left(\log_2 \frac{49}{64}; \log_2 \frac{16}{7}\right)$. **Ответ:** $\left(0; \log_2 \frac{128}{71}\right)$, $\left(\log_2 \frac{49}{64}; \log_2 \frac{16}{7}\right)$.