ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 947

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 9, \\ \sqrt{y} - \sqrt{x} = 1. \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ y \ge 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы, приведя обе части к общему основанию $3$: $$ (3^2)^x \cdot 3^y = 3^2 $$ $$ 3^{2x} \cdot 3^y = 3^2 $$ $$ 3^{2x+y} = 3^2 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 2x + y = 2 \implies y = 2 - 2x $$ Из второго уравнения системы выразим $\sqrt{y}$: $$ \sqrt{y} = \sqrt{x} + 1 $$ Подставим выражение $y = 2 - 2x$ во второе уравнение: $$ \sqrt{2 - 2x} = \sqrt{x} + 1 $$ Так как обе части уравнения неотрицательны при допустимых $x$, возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{2 - 2x})^2 = (\sqrt{x} + 1)^2 $$ $$ 2 - 2x = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x} + 1 $$ $$ 2 - 2x = x + 2\sqrt{x} + 1 $$ Перенесем слагаемые без корня в левую часть: $$ 2 - 1 - 2x - x = 2\sqrt{x} $$ $$ 1 - 3x = 2\sqrt{x} $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Получаем квадратное уравнение: $$ 1 - 3t^2 = 2t $$ $$ 3t^2 + 2t - 1 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $$ $$ t_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ $$ t_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 $$ Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к замене для $t_1 = \frac{1}{3}$: $$ \sqrt{x} = \frac{1}{3} \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$ Найдем значение $y$: $$ y = 2 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 2 - \frac{2}{9} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} $$ Найденные значения удовлетворяют ОДЗ: $x = \frac{1}{9} \ge 0$ и $y = \frac{16}{9} \ge 0$. Ответ: $\left(\frac{1}{9}; \frac{16}{9}\right)$.