ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 948

**948.** **1)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_2 (x^2y + 2xy^2) - \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} \right) = 4, \\ \log_5 \left| \dfrac{xy}{6} \right| = 0. \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) системы: $$ \begin{cases} x^2y + 2xy^2 > 0, \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} > 0, \\ \left| \dfrac{xy}{6} \right| > 0. \end{cases} $$ Преобразуем выражения: $x^2y + 2xy^2 = xy(x + 2y)$, $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + 2y}{xy}$. Условия $xy(x + 2y) > 0$ и $\dfrac{x + 2y}{xy} > 0$ означают, что величины $xy$ и $x + 2y$ имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). При этом условие $xy \neq 0$ выполняется автоматически. Преобразуем первое уравнение системы. Перейдем ко второму слагаемому по формуле $\log_{\frac{1}{2}} A = -\log_2 A$: $$ -\log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} \right) = \log_2 \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} \right). $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ \log_2 (x^2y + 2xy^2) + \log_2 \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} \right) = 4. $$ Используя свойство суммы логарифмов, получаем: $$ \log_2 \left( (x^2y + 2xy^2) \cdot \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} \right) \right) = 4, $$ $$ \log_2 \left( xy(x + 2y) \cdot \dfrac{x + 2y}{xy} \right) = 4, $$ $$ \log_2 (x + 2y)^2 = 4. $$ По определению логарифма: $$ (x + 2y)^2 = 2^4 = 16 \implies x + 2y = 4 \quad \text{или} \quad x + 2y = -4. $$ Преобразуем второе уравнение системы: $$ \log_5 \left| \dfrac{xy}{6} \right| = 0 \implies \left| \dfrac{xy}{6} \right| = 5^0 = 1 \implies |xy| = 6 \implies xy = 6 \quad \text{или} \quad xy = -6. $$ С учетом ОДЗ величины $x + 2y$ и $xy$ должны иметь одинаковый знак. Рассмотрим два возможных случая: **Случай 1:** $x + 2y > 0$ и $xy > 0$. $$ \begin{cases} x + 2y = 4, \\ xy = 6. \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 4 - 2y$. Подставим во второе: $$ (4 - 2y)y = 6, $$ $$ 4y - 2y^2 = 6, $$ $$ 2y^2 - 4y + 6 = 0, $$ $$ y^2 - 2y + 3 = 0. $$ Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. В этом случае действительных корней нет. **Случай 2:** $x + 2y < 0$ и $xy < 0$. $$ \begin{cases} x + 2y = -4, \\ xy = -6. \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = -4 - 2y$. Подставим во второе: $$ (-4 - 2y)y = -6, $$ $$ -4y - 2y^2 = -6, $$ $$ 2y^2 + 4y - 6 = 0, $$ $$ y^2 + 2y - 3 = 0. $$ По теореме Виета: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $x$: - если $y = 1$, то $x = -4 - 2 \cdot 1 = -6$; - если $y = -3$, то $x = -4 - 2 \cdot (-3) = 2$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ ($xy = -6 < 0$ и $x + 2y = -4 < 0$). Ответ к пункту 1: $(-6; 1)$, $(2; -3)$. --- **2)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_2 \left( x^2y + \dfrac{xy^2}{2} \right) - \log_{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \right) = 3, \\ \log_{\frac{1}{5}} \left| \dfrac{xy}{6} \right| = 0. \end{cases} $$ Найдем ОДЗ системы: $$ \begin{cases} x^2y + \dfrac{xy^2}{2} > 0, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} > 0, \\ \left| \dfrac{xy}{6} \right| > 0. \end{cases} $$ Преобразуем выражения: $x^2y + \dfrac{xy^2}{2} = \dfrac{xy(2x + y)}{2}$, $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = \dfrac{2x + y}{xy}$. Значит, $xy$ и $2x + y$ должны иметь одинаковый знак ($xy \neq 0$). Преобразуем первое уравнение системы, используя свойство $-\log_{\frac{1}{2}} A = \log_2 A$: $$ \log_2 \left( x^2y + \dfrac{xy^2}{2} \right) + \log_2 \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \right) = 3, $$ $$ \log_2 \left( \left( x^2y + \dfrac{xy^2}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \right) \right) = 3, $$ $$ \log_2 \left( \dfrac{xy(2x + y)}{2} \cdot \dfrac{2x + y}{xy} \right) = 3, $$ $$ \log_2 \left( \dfrac{(2x + y)^2}{2} \right) = 3. $$ По определению логарифма: $$ \dfrac{(2x + y)^2}{2} = 2^3 = 8, $$ $$ (2x + y)^2 = 16 \implies 2x + y = 4 \quad \text{или} \quad 2x + y = -4. $$ Преобразуем второе уравнение системы: $$ \log_{\frac{1}{5}} \left| \dfrac{xy}{6} \right| = 0 \implies \left| \dfrac{xy}{6} \right| = \left( \dfrac{1}{5} \right)^0 = 1 \implies |xy| = 6 \implies xy = 6 \quad \text{или} \quad xy = -6. $$ С учетом ОДЗ величины $2x + y$ и $xy$ должны иметь одинаковый знак. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $2x + y > 0$ и $xy > 0$. $$ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ xy = 6. \end{cases} $$ Выразим $y = 4 - 2x$ и подставим во второе уравнение: $$ x(4 - 2x) = 6, $$ $$ 4x - 2x^2 = 6, $$ $$ 2x^2 - 4x + 6 = 0, $$ $$ x^2 - 2x + 3 = 0. $$ Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет. **Случай 2:** $2x + y < 0$ и $xy < 0$. $$ \begin{cases} 2x + y = -4, \\ xy = -6. \end{cases} $$ Выразим $y = -4 - 2x$ и подставим во второе уравнение: $$ x(-4 - 2x) = -6, $$ $$ -4x - 2x^2 = -6, $$ $$ 2x^2 + 4x - 6 = 0, $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0. $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Найдем соответствующие значения $y$: - если $x = 1$, то $y = -4 - 2 \cdot 1 = -6$; - если $x = -3$, то $y = -4 - 2 \cdot (-3) = 2$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ ($xy = -6 < 0$ и $2x + y = -4 < 0$). Ответ к пункту 2: $(1; -6)$, $(-3; 2)$.