ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 945

**1)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{x+y} = 32, \\ 3^{3y-x} = 27 \end{cases} $$ Представим правые части уравнений в виде степеней с основаниями $2$ и $3$: $32 = 2^5$, а $27 = 3^3$. $$ \begin{cases} 2^{x+y} = 2^5, \\ 3^{3y-x} = 3^3 \end{cases} $$ Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ 3y - x = 3 \end{cases} $$ Сложим оба уравнения системы: $$ (x + y) + (3y - x) = 5 + 3 $$ $$ 4y = 8 \implies y = 2 $$ Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение: $$ x + 2 = 5 \implies x = 3 $$ Ответ: $(3; 2)$. --- **2)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^x - 2 \cdot 2^y = 77, \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7 \end{cases} $$ *(Примечание: в условии второго уравнения содержится опечатка типографского набора $\frac{x}{3^2} - 2y = 7$, соответствующая показательному уравнению $3^{\frac{x}{2}} - 2^y = 7$).* Введём замену переменных: пусть $u = 3^{\frac{x}{2}}$ ($u > 0$) и $v = 2^y$ ($v > 0$). Тогда $3^x = \left(3^{\frac{x}{2}}\right)^2 = u^2$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} u^2 - 2v = 77, \\ u - v = 7 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $v$: $$ v = u - 7 $$ Подставим выражение для $v$ в первое уравнение: $$ u^2 - 2(u - 7) = 77 $$ $$ u^2 - 2u + 14 - 77 = 0 $$ $$ u^2 - 2u - 63 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $$ u_1 = 9, \quad u_2 = -7 $$ Так как $u > 0$, корень $u_2 = -7$ не подходит. Значит, $u = 9$. Найдём $v$: $$ v = 9 - 7 = 2 $$ Вернёмся к исходным переменным: $$ 3^{\frac{x}{2}} = 9 \implies 3^{\frac{x}{2}} = 3^2 \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x = 4 $$ $$ 2^y = 2 \implies 2^y = 2^1 \implies y = 1 $$ Ответ: $(4; 1)$. --- **3)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4 \end{cases} $$ Область допустимых значений логарифма: $y - x > 0$. Преобразуем второе уравнение по определению логарифма: $$ y - x = (\sqrt{2})^4 $$ $$ y - x = 2^2 = 4 \implies y = x + 4 $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение: $$ 3^x \cdot 2^{x+4} = 576 $$ Используем свойство степени $2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4$: $$ 3^x \cdot 2^x \cdot 16 = 576 $$ $$ (3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576 $$ $$ 6^x = \frac{576}{16} $$ $$ 6^x = 36 \implies 6^x = 6^2 \implies x = 2 $$ Найдём $y$: $$ y = 2 + 4 = 6 $$ Проверим условие ОДЗ: $y - x = 6 - 2 = 4 > 0$ — выполняется. Ответ: $(2; 6)$. --- **4)** Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \lg x + \lg y = 4, \\ x^{\lg y} = 1000 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x > 0$, $y > 0$. Прологарифмируем обе части второго уравнения по основанию $10$: $$ \lg\left(x^{\lg y}\right) = \lg 1000 $$ По свойству логарифма степени $\lg(a^b) = b \lg a$: $$ \lg y \cdot \lg x = 3 $$ Получаем систему относительно $\lg x$ и $\lg y$: $$ \begin{cases} \lg x + \lg y = 4, \\ \lg x \cdot \lg y = 3 \end{cases} $$ Пусть $a = \lg x$, $b = \lg y$. Тогда: $$ \begin{cases} a + b = 4, \\ a \cdot b = 3 \end{cases} $$ По теореме Виета числа $a$ и $b$ являются корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 3 $$ Возможны два случая: 1) $\begin{cases} a = 1, \\ b = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} \lg x = 1, \\ \lg y = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 10^1 = 10, \\ y = 10^3 = 1000 \end{cases}$ 2) $\begin{cases} a = 3, \\ b = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \lg x = 3, \\ \lg y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 10^3 = 1000, \\ y = 10^1 = 10 \end{cases}$ Оба решения удовлетворяют условиям $x > 0$ и $y > 0$. Ответ: $(10; 1000), (1000; 10)$.