ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 940

**1)** $$ \begin{cases} y + 5 = x^2, \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x^2$: $$ x^2 = y + 5 $$ Подставим полученное выражение для $x^2$ во второе уравнение системы: $$ (y + 5) + y^2 = 25 $$ Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ y^2 + y - 20 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 $$ $$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4 $$ $$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = -5 $$ Найдем соответствующие значения переменной $x$: 1. При $y_1 = 4$: $$ x^2 = 4 + 5 = 9 \implies x = \pm 3 $$ Получаем две пары решений: $(3; 4)$ и $(-3; 4)$. 2. При $y_2 = -5$: $$ x^2 = -5 + 5 = 0 \implies x = 0 $$ Получаем пару решений: $(0; -5)$. Ответ: $(3; 4)$, $(-3; 4)$, $(0; -5)$. --- **2)** $$ \begin{cases} xy = 16, \\ \frac{x}{y} = 4 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $y \neq 0$. Из второго уравнения выразим $x$: $$ x = 4y $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ (4y) \cdot y = 16 $$ $$ 4y^2 = 16 $$ $$ y^2 = 4 \implies y_1 = 2, \quad y_2 = -2 $$ Оба значения удовлетворяют условию $y \neq 0$. Найдем соответствующие значения переменной $x$: 1. При $y_1 = 2$: $$ x_1 = 4 \cdot 2 = 8 $$ 2. При $y_2 = -2$: $$ x_2 = 4 \cdot (-2) = -8 $$ Ответ: $(8; 2)$, $(-8; -2)$. --- **3)** $$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 96, \\ x = 2y \end{cases} $$ Подставим выражение $x = 2y$ из второго уравнения в первое: $$ (2y)^2 + 2y^2 = 96 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ 4y^2 + 2y^2 = 96 $$ $$ 6y^2 = 96 $$ $$ y^2 = 16 \implies y_1 = 4, \quad y_2 = -4 $$ Найдем соответствующие значения переменной $x$: 1. При $y_1 = 4$: $$ x_1 = 2 \cdot 4 = 8 $$ 2. При $y_2 = -4$: $$ x_2 = 2 \cdot (-4) = -8 $$ Ответ: $(8; 4)$, $(-8; -4)$.