ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 927

### 1) $\sqrt{9x - 20} < x$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \geqslant 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < g^2(x) \end{cases} $$ Подставим $f(x) = 9x - 20$ и $g(x) = x$: $$ \begin{cases} 9x - 20 \geqslant 0, \\ x > 0, \\ 9x - 20 < x^2 \end{cases} $$ 1. Из первого неравенства: $9x \geqslant 20 \iff x \geqslant \frac{20}{9} \iff x \geqslant 2\frac{2}{9}$. 2. Второе неравенство $x > 0$ выполняется автоматически при $x \geqslant 2\frac{2}{9}$. 3. Решим третье неравенство: $$ x^2 - 9x + 20 > 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$. Следовательно: $$ (x - 4)(x - 5) > 0 \iff x \in (-\infty; 4) \cup (5; +\infty) $$ Пересечем полученное решение с условием $x \geqslant 2\frac{2}{9}$: $$ x \in \left[2\frac{2}{9}; 4\right) \cup (5; +\infty) $$ **Ответ:** $\left[2\frac{2}{9}; 4\right) \cup (5; +\infty)$ --- ### 2) $\sqrt{x + 7} > x + 1$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \geqslant 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \geqslant 0, \\ f(x) > g^2(x) \end{cases} \end{aligned} \right. $$ **Первая система:** $$ \begin{cases} x + 1 < 0, \\ x + 7 \geqslant 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < -1, \\ x \geqslant -7 \end{cases} \iff x \in [-7; -1) $$ **Вторая система:** $$ \begin{cases} x + 1 \geqslant 0, \\ x + 7 > (x + 1)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geqslant -1, \\ x + 7 > x^2 + 2x + 1 \end{cases} $$ Преобразуем второе неравенство системы: $$ x^2 + x - 6 < 0 $$ Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Решением неравенства является интервал: $x \in (-3; 2)$. Пересекаем с условием $x \geqslant -1$: $$ x \in [-1; 2) $$ Объединяем решения первой и второй систем: $$ [-7; -1) \cup [-1; 2) = [-7; 2) $$ **Ответ:** $[-7; 2)$ --- ### 3) $\sqrt{\frac{x + 4}{2 - x}} > x$ Неравенство равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} x < 0, \\ \dfrac{x + 4}{2 - x} \geqslant 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x \geqslant 0, \\ \dfrac{x + 4}{2 - x} > x^2 \end{cases} \end{aligned} \right. $$ **Первая система:** Решим неравенство $\dfrac{x + 4}{2 - x} \geqslant 0 \iff \dfrac{x + 4}{x - 2} \leqslant 0$. Методом интервалов получаем $x \in [-4; 2)$. Пересекая с условием $x < 0$, находим: $$ x \in [-4; 0) $$ **Вторая система:** Решим неравенство $\dfrac{x + 4}{2 - x} - x^2 > 0$: $$ \frac{x + 4 - x^2(2 - x)}{2 - x} > 0 $$ $$ \frac{x^3 - 2x^2 + x + 4}{2 - x} > 0 $$ Разложим многочлен в числителе на множители. Заметим, что $x = -1$ является его корнем: $(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$. Разделим $x^3 - 2x^2 + x + 4$ на $x + 1$: $x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4)$. Квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 4$ имеет дискриминант $D = 9 - 16 = -7 < 0$ и положительный старший коэффициент, следовательно, $x^2 - 3x + 4 > 0$ при всех действительных $x$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{x + 1}{2 - x} > 0 \iff \frac{x + 1}{x - 2} < 0 \iff x \in (-1; 2) $$ Пересекая с условием $x \geqslant 0$, находим: $$ x \in [0; 2) $$ Объединяем решения обеих систем: $$ [-4; 0) \cup [0; 2) = [-4; 2) $$ **Ответ:** $[-4; 2)$ --- ### 4) $\sqrt{\frac{1 + 5x}{1 + 2x}} \leqslant 1 - x$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \leqslant g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} \dfrac{1 + 5x}{1 + 2x} \geqslant 0, \\ 1 - x \geqslant 0, \\ \dfrac{1 + 5x}{1 + 2x} \leqslant (1 - x)^2 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\dfrac{5x + 1}{2x + 1} \geqslant 0$: Нули числителя и знаменателя: $x = -\frac{1}{5}$, $x = -\frac{1}{2}$. Методом интервалов получаем: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{1}{5}; +\infty\right) $$ 2. Из второго неравенства: $$ x \leqslant 1 $$ 3. Решим третье неравенство: $$ (1 - x)^2 - \frac{1 + 5x}{1 + 2x} \geqslant 0 $$ $$ \frac{(x^2 - 2x + 1)(2x + 1) - (1 + 5x)}{2x + 1} \geqslant 0 $$ $$ \frac{(2x^3 - 3x^2 + 1) - (5x + 1)}{2x + 1} \geqslant 0 $$ $$ \frac{2x^3 - 3x^2 - 5x}{2x + 1} \geqslant 0 $$ Вынесем $x$ за скобки в числителе: $$ \frac{x(2x^2 - 3x - 5)}{2x + 1} \geqslant 0 $$ Корни трехчлена $2x^2 - 3x - 5 = 0$: $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 49$, $x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{5}{2} = 2{,}5$, $x_2 = \frac{3 - 7}{4} = -1$. Тогда неравенство записывается в виде: $$ \frac{x(x + 1)(2x - 5)}{2x + 1} \geqslant 0 $$ Отметим на числовой прямой нули числителя (закрашенные точки) и знаменателя (выколотая точка): $x = -1$, $x = -\frac{1}{2}$, $x = 0$, $x = 2{,}5$. Применяя метод интервалов, получаем знаки выражения: - при $x > 2{,}5$ — плюс; - при $0 < x < 2{,}5$ — минус; - при $-\frac{1}{2} < x < 0$ — плюс; - при $-1 < x < -\frac{1}{2}$ — минус; - при $x < -1$ — плюс. Значит, решением третьего неравенства является: $$ x \in (-\infty; -1] \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right] \cup [2{,}5; +\infty) $$ 4. Найдем пересечение всех трех условий системы: - $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{1}{5}; +\infty\right)$ - $x \leqslant 1$ - $x \in (-\infty; -1] \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right] \cup [2{,}5; +\infty)$ Пересечение: 1) На луче $\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)$: $\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right) \cap (-\infty; -1] = (-\infty; -1]$. 2) На промежутке $\left[-\frac{1}{5}; 1\right]$: $\left[-\frac{1}{5}; 1\right] \cap \left(-\frac{1}{2}; 0\right] = \left[-\frac{1}{5}; 0\right]$. Таким образом, получаем: $$ x \in (-\infty; -1] \cup \left[-\frac{1}{5}; 0\right] $$ **Ответ:** $(-\infty; -1] \cup \left[-\frac{1}{5}; 0\right]$