ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 926

Решим неравенство $$ 9^{|x|} - 8 \cdot 3^x > 9 $$ Раскроем модуль, рассмотрев два случая. **1. Случай $x \ge 0$** В этом случае $|x| = x$, и неравенство принимает вид: $$ 9^x - 8 \cdot 3^x - 9 > 0 $$ Так как $9^x = (3^x)^2$, сделаем замену переменной $t = 3^x$. Поскольку $x \ge 0$, то $t = 3^x \ge 3^0 = 1$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - 8t - 9 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 8t - 9 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = -1$, $t_2 = 9$. Разложим левую часть на множители: $$ (t + 1)(t - 9) > 0 $$ Решением данного неравенства является совокупность: $t < -1$ или $t > 9$. С учетом условия $t \ge 1$ получаем: $$ t > 9 $$ Вернемся к переменной $x$: $$ 3^x > 9 $$ $$ 3^x > 3^2 $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, следовательно: $$ x > 2 $$ Условие $x \ge 0$ выполняется, поэтому решением в первом случае является интервал $x \in (2; +\infty)$. **2. Случай $x < 0$** В этом случае $|x| = -x$, и неравенство принимает вид: $$ 9^{-x} - 8 \cdot 3^x - 9 > 0 $$ Сделаем замену переменной $t = 3^x$. Поскольку $x < 0$, то $0 < t < 3^0$, то есть $0 < t < 1$. Так как $9^{-x} = (3^{-x})^2 = \frac{1}{t^2}$, получаем: $$ \frac{1}{t^2} - 8t - 9 > 0 $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{1 - 8t^3 - 9t^2}{t^2} > 0 $$ Так как $t^2 > 0$ при всех допустимых $t$, умножим обе части неравенства на $-t^2$, изменив знак неравенства: $$ 8t^3 + 9t^2 - 1 < 0 $$ Разложим многочлен $P(t) = 8t^3 + 9t^2 - 1$ на множители. Заметим, что $P(-1) = 8(-1)^3 + 9(-1)^2 - 1 = -8 + 9 - 1 = 0$, значит, $(t + 1)$ является делителем этого многочлена: $$ 8t^3 + 9t^2 - 1 = 8t^2(t + 1) + t(t + 1) - (t + 1) = (t + 1)(8t^2 + t - 1) $$ Найдем корни трехчлена $8t^2 + t - 1 = 0$: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 1 + 32 = 33 $$ $$ t = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{16} $$ Таким образом: $$ (t + 1) \left(t - \frac{-1 - \sqrt{33}}{16}\right) \left(t - \frac{\sqrt{33} - 1}{16}\right) < 0 $$ Так как $t \in (0; 1)$, множители $(t + 1)$ и $\left(t - \frac{-1 - \sqrt{33}}{16}\right)$ строго положительны. Следовательно, знак выражения определяется последним множителем: $$ t - \frac{\sqrt{33} - 1}{16} < 0 \implies 0 < t < \frac{\sqrt{33} - 1}{16} $$ Вернемся к переменной $x$: $$ 0 < 3^x < \frac{\sqrt{33} - 1}{16} $$ $$ x < \log_3\left(\frac{\sqrt{33} - 1}{16}\right) $$ Поскольку $\frac{\sqrt{33} - 1}{16} < \frac{\sqrt{36} - 1}{16} = \frac{5}{16} < 1$, значение $\log_3\left(\frac{\sqrt{33} - 1}{16}\right) < 0$, что согласуется с условием $x < 0$. Объединяя результаты обоих случаев, получаем множество решений исходного неравенства: $$ x \in \left(-\infty; \log_3\left(\frac{\sqrt{33} - 1}{16}\right)\right) \cup (2; +\infty) $$ **3. Определение наименьшего натурального числа** Натуральные числа — это числа из множества $\{1, 2, 3, \dots\}$. - В промежуток $\left(-\infty; \log_3\left(\frac{\sqrt{33} - 1}{16}\right)\right)$ натуральные числа не входят, так как все значения в нем отрицательны. - В промежутке $(2; +\infty)$ наименьшим целым числом является $3$, которое принадлежит множеству натуральных чисел. Следовательно, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству, равно $3$. Ответ: $x \in \left(-\infty; \log_3\left(\frac{\sqrt{33} - 1}{16}\right)\right) \cup (2; +\infty)$; наименьшее натуральное число: $3$.