ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 924

### 1) $\log_{6x+1}(25x) - 2\log_{25x}(6x+1) > 1$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 6x + 1 > 0 \\ 6x + 1 \ne 1 \\ 25x > 0 \\ 25x \ne 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -\frac{1}{6} \\ x \ne 0 \\ x > 0 \\ x \ne \frac{1}{25} \end{cases} \iff x \in \left(0; \frac{1}{25}\right) \cup \left(\frac{1}{25}; +\infty\right) $$ 2. Используя формулу перехода к новому основанию $\log_{25x}(6x+1) = \frac{1}{\log_{6x+1}(25x)}$, сделаем замену переменной: Пусть $t = \log_{6x+1}(25x)$. Получаем неравенство: $$ t - \frac{2}{t} - 1 > 0 $$ $$ \frac{t^2 - t - 2}{t} > 0 \iff \frac{(t - 2)(t + 1)}{t} > 0 $$ Применим метод интервалов: $$ t \in (-1; 0) \cup (2; +\infty) $$ То есть: $$ -1 < t < 0 \quad \text{или} \quad t > 2 $$ 3. Выполним обратную замену: Заметим, что по ОДЗ $x > 0$, следовательно, основание логарифма $6x + 1 > 1$. Функция $y = \log_{6x+1} u$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется. * Случай A: $-1 < \log_{6x+1}(25x) < 0$ $$ (6x + 1)^{-1} < 25x < (6x + 1)^0 $$ $$ \frac{1}{6x + 1} < 25x < 1 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} 25x < 1 \\ 25x(6x + 1) > 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x < \frac{1}{25} \\ 150x^2 + 25x - 1 > 0 \end{cases} $$ Корни квадратного трехчлена $150x^2 + 25x - 1 = 0$: $$ D = 25^2 - 4 \cdot 150 \cdot (-1) = 625 + 600 = 1225 = 35^2 $$ $$ x_1 = \frac{-25 - 35}{300} = -\frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{-25 + 35}{300} = \frac{1}{30} $$ Решение второго неравенства: $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{1}{30}; +\infty\right)$. С учетом условий $x < \frac{1}{25}$ и $x > 0$: $$ x \in \left(\frac{1}{30}; \frac{1}{25}\right) $$ * Случай B: $\log_{6x+1}(25x) > 2$ $$ 25x > (6x + 1)^2 $$ $$ 25x > 36x^2 + 12x + 1 $$ $$ 36x^2 - 13x + 1 < 0 $$ Корни уравнения $36x^2 - 13x + 1 = 0$: $$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 169 - 144 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{13 - 5}{72} = \frac{1}{9}, \quad x_2 = \frac{13 + 5}{72} = \frac{1}{4} $$ Отсюда: $$ x \in \left(\frac{1}{9}; \frac{1}{4}\right) $$ Все значения из этого интервала удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $x \in \left(\frac{1}{30}; \frac{1}{25}\right) \cup \left(\frac{1}{9}; \frac{1}{4}\right)$. --- ### 2) $\log_{6x-1} \frac{x}{6x-1} > 2\log_x(6x-1)$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 6x - 1 > 0 \\ 6x - 1 \ne 1 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \\ \frac{x}{6x - 1} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > \frac{1}{6} \\ x \ne \frac{1}{3} \\ x \ne 1 \end{cases} \iff x \in \left(\frac{1}{6}; \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}; 1\right) \cup (1; +\infty) $$ 2. Преобразуем левую часть неравенства: $$ \log_{6x-1}\left(\frac{x}{6x-1}\right) = \log_{6x-1} x - \log_{6x-1}(6x-1) = \log_{6x-1} x - 1 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{6x-1} x - 1 > 2\log_x(6x-1) $$ Пусть $t = \log_{6x-1} x$, тогда $\log_x(6x-1) = \frac{1}{t}$: $$ t - 1 - \frac{2}{t} > 0 \iff \frac{t^2 - t - 2}{t} > 0 \iff \frac{(t - 2)(t + 1)}{t} > 0 $$ Методом интервалов получаем: $$ -1 < t < 0 \quad \text{или} \quad t > 2 $$ 3. Возвращаемся к замене: Рассмотрим поведение основания $6x - 1$: * Случай A: $0 < 6x - 1 < 1 \iff x \in \left(\frac{1}{6}; \frac{1}{3}\right)$. Так как основание меньше 1, функция убывает, знаки неравенства меняются на противоположные. 1) При $-1 < \log_{6x-1} x < 0$: $$ (6x - 1)^0 < x < (6x - 1)^{-1} \iff 1 < x < \frac{1}{6x - 1} $$ Но на рассматриваемом интервале $x < \frac{1}{3} < 1$, следовательно, решений нет. 2) При $\log_{6x-1} x > 2$: $$ x < (6x - 1)^2 \iff 36x^2 - 13x + 1 > 0 $$ Корни трехчлена: $x_1 = \frac{1}{9}$, $x_2 = \frac{1}{4}$. Неравенство выполняется при $x \in \left(-\infty; \frac{1}{9}\right) \cup \left(\frac{1}{4}; +\infty\right)$. Пересекая с интервалом $x \in \left(\frac{1}{6}; \frac{1}{3}\right)$, получаем: $$ x \in \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{3}\right) $$ * Случай B: $6x - 1 > 1 \iff x \in \left(\frac{1}{3}; 1\right) \cup (1; +\infty)$. Основание больше 1, функция возрастает, знаки сохраняются. 1) При $-1 < \log_{6x-1} x < 0$: $$ (6x - 1)^{-1} < x < (6x - 1)^0 \iff \frac{1}{6x - 1} < x < 1 $$ Так как $6x - 1 > 0$, первое неравенство равносильно: $$ x(6x - 1) > 1 \iff 6x^2 - x - 1 > 0 $$ Корни: $x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{1}{2}$. Значит, $x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$. С учетом $x < 1$ и $x > \frac{1}{3}$ получаем: $$ x \in \left(\frac{1}{2}; 1\right) $$ 2) При $\log_{6x-1} x > 2$: $$ x > (6x - 1)^2 \iff 36x^2 - 13x + 1 < 0 \iff x \in \left(\frac{1}{9}; \frac{1}{4}\right) $$ Интервал не пересекается с областью $x > \frac{1}{3}$, решений нет. Ответ: $x \in \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; 1\right)$. --- ### 3) $\log_{x+4}(\sqrt{x+5} + 1) \leqslant 1$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 5 \geqslant 0 \\ x + 4 > 0 \\ x + 4 \ne 1 \\ \sqrt{x+5} + 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geqslant -5 \\ x > -4 \\ x \ne -3 \end{cases} \iff x \in (-4; -3) \cup (-3; +\infty) $$ 2. Решим неравенство, рассмотрев два случая основания: * Случай 1: $0 < x + 4 < 1 \iff -4 < x < -3$. Основание меньше 1, функция убывает, знак неравенства меняется: $$ \sqrt{x+5} + 1 \geqslant x + 4 \iff \sqrt{x+5} \geqslant x + 3 $$ При $-4 < x < -3$ выражение $x + 3 < 0$, а $\sqrt{x+5} \geqslant 0$. Неотрицательное значение всегда больше отрицательного, значит, неравенство выполняется для всех $x$ из данного интервала: $$ x \in (-4; -3) $$ * Случай 2: $x + 4 > 1 \iff x > -3$. Основание больше 1, функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ \sqrt{x+5} + 1 \leqslant x + 4 \iff \sqrt{x+5} \leqslant x + 3 $$ Так как при $x > -3$ обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $$ x + 5 \leqslant (x + 3)^2 $$ $$ x + 5 \leqslant x^2 + 6x + 9 $$ $$ x^2 + 5x + 4 \geqslant 0 $$ $$ (x + 4)(x + 1) \geqslant 0 $$ Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -4] \cup [-1; +\infty)$. С учетом условия $x > -3$ получаем: $$ x \in [-1; +\infty) $$ Объединяя результаты обоих случаев: $$ x \in (-4; -3) \cup [-1; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-4; -3) \cup [-1; +\infty)$.