ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 920

**920.** Решить неравенство: $$ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) < \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $$ ### Решение: **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы: 1) $|2x + 2| > 0 \iff 2x + 2 \neq 0 \iff x \neq -1$; 2) $|2x + 2| \neq 1 \iff 2x + 2 \neq 1$ и $2x + 2 \neq -1 \iff x \neq -0{,}5$ и $x \neq -1{,}5$. Подкоренные и подлогарифмические выражения должны быть строго больше нуля: 3) $1 - 9^x > 0 \iff 9^x < 1 \iff x < 0$; 4) $1 + 3^x > 0$ — верно при всех $x \in \mathbb{R}$; 5) $\frac{5}{9} + 3^{x-1} > 0$ — верно при всех $x \in \mathbb{R}$. Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $$ x \in (-\infty; -1{,}5) \cup (-1{,}5; -1) \cup (-1; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 0) $$ **2. Преобразование неравенства:** Заметим, что $1 - 9^x = 1 - (3^x)^2 = (1 - 3^x)(1 + 3^x)$. Так как на ОДЗ $x < 0$, то $3^x < 1$, а значит, множители $1 - 3^x > 0$ и $1 + 3^x > 0$. По свойству логарифма произведения представим левую часть в виде: $$ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) = \log_{|2x+2|}(1 - 3^x) + \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) $$ Подставим это выражение в исходное неравенство: $$ \log_{|2x+2|}(1 - 3^x) + \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) < \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $$ Вычтем $\log_{|2x+2|}(1 + 3^x)$ из обеих частей неравенства: $$ \log_{|2x+2|}(1 - 3^x) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $$ Запишем $3^{x-1}$ как $\frac{1}{3} \cdot 3^x$: $$ \log_{|2x+2|}(1 - 3^x) - \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + \frac{1}{3} \cdot 3^x\right) < 0 $$ **3. Применение метода рационализации:** Для логарифмического неравенства вида $\log_a f(x) - \log_a g(x) < 0$ на области его определения знак разности совпадает со знаком выражения $(a - 1)(f(x) - g(x))$: $$ (|2x + 2| - 1) \cdot \left((1 - 3^x) - \left(\frac{5}{9} + \frac{1}{3} \cdot 3^x\right)\right) < 0 $$ Упростим каждую из скобок: 1) Для первой скобки воспользуемся тем, что знак выражения $|u| - 1$ совпадает со знаком $(u^2 - 1)$: $$ |2x + 2| - 1 \sim (2x + 2)^2 - 1 = (2x + 2 - 1)(2x + 2 + 1) = (2x + 1)(2x + 3) $$ 2) Вторую скобку преобразуем: $$ (1 - 3^x) - \left(\frac{5}{9} + \frac{1}{3} \cdot 3^x\right) = 1 - \frac{5}{9} - \frac{4}{3} \cdot 3^x = \frac{4}{9} - \frac{4}{3} \cdot 3^x = \frac{4}{3} \left(\frac{1}{3} - 3^x\right) = \frac{4}{3}(3^{-1} - 3^x) $$ Так как показательная функция $y = 3^t$ монотонно возрастает, знак разности $(3^{-1} - 3^x)$ совпадает со знаком разности показателей: $$ -1 - x = -(x + 1) $$ Подставим полученные выражения в неравенство: $$ (2x + 1)(2x + 3) \cdot \frac{4}{3} \cdot (-(x + 1)) < 0 $$ Разделим обе части на $-\frac{4}{3}$ (при этом знак неравенства меняется на противоположный): $$ (2x + 1)(2x + 3)(x + 1) > 0 $$ **4. Решение методом интервалов:** Корни множителей: $x = -1{,}5$, $x = -1$, $x = -0{,}5$. Расставим знаки выражения на числовой прямой: - при $x > -0{,}5$: знак $+$ - при $-1 < x < -0{,}5$: знак $-$ - при $-1{,}5 < x < -1$: знак $+$ - при $x < -1{,}5$: знак $-$ Следовательно, решением неравенства является: $$ x \in (-1{,}5; -1) \cup (-0{,}5; +\infty) $$ **5. Учет ОДЗ:** Пересечем найденное множество с ОДЗ: $$ \begin{cases} x \in (-1{,}5; -1) \cup (-0{,}5; +\infty) \\ x \in (-\infty; -1{,}5) \cup (-1{,}5; -1) \cup (-1; -0{,}5) \cup (-0{,}5; 0) \end{cases} $$ Получаем: $$ x \in (-1{,}5; -1) \cup (-0{,}5; 0) $$ Ответ: $(-1{,}5; -1) \cup (-0{,}5; 0)$.