ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 919

1) Решим неравенство: $$ x^{\lg^2 x - 3\lg x + 1} > 1000 $$ Область допустимых значений: $x > 0$. Так как при $x > 0$ обе части неравенства положительны, прологарифмируем обе части по основанию $10$ (знак неравенства сохраняется, так как основание $10 > 1$): $$ \lg\left(x^{\lg^2 x - 3\lg x + 1}\right) > \lg 1000 $$ По свойству логарифма степени вынесем показатель степени как множитель: $$ (\lg^2 x - 3\lg x + 1) \cdot \lg x > 3 $$ Пусть $t = \lg x$. Тогда неравенство принимает вид: $$ (t^2 - 3t + 1)t > 3 $$ $$ t^3 - 3t^2 + t - 3 > 0 $$ Разложим левую часть на множители способом группировки: $$ t^2(t - 3) + (t - 3) > 0 $$ $$ (t - 3)(t^2 + 1) > 0 $$ Так как $t^2 + 1 > 0$ при любом действительном $t$, разделим обе части неравенства на $t^2 + 1$: $$ t - 3 > 0 $$ $$ t > 3 $$ Вернёмся к замене: $$ \lg x > 3 $$ $$ x > 10^3 $$ $$ x > 1000 $$ С учётом ОДЗ ($x > 0$) получаем: $x \in (1000; +\infty)$. Ответ: $x \in (1000; +\infty)$. --- 2) Решим неравенство: $$ 3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^2 + 5} - 2 $$ Область допустимых значений: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \implies x > 0 $$ Так как $x > 0$, по свойству логарифма степени $\lg x^2 = 2\lg x$. Преобразуем степени с основанием $3$: $$ 3^{\lg x + 2} = 3^{\lg x} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{\lg x} $$ $$ 3^{\lg x^2 + 5} = 3^{2\lg x + 5} = 3^5 \cdot 3^{2\lg x} = 243 \cdot (3^{\lg x})^2 $$ Подставим полученные выражения в исходное неравенство: $$ 9 \cdot 3^{\lg x} < 243 \cdot (3^{\lg x})^2 - 2 $$ $$ 243 \cdot (3^{\lg x})^2 - 9 \cdot 3^{\lg x} - 2 > 0 $$ Пусть $t = 3^{\lg x}$, причём $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ 243t^2 - 9t - 2 > 0 $$ Найдём корни трёхчлена $243t^2 - 9t - 2 = 0$: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2 $$ $$ t_1 = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486} = -\frac{2}{27} $$ $$ t_2 = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9} $$ Решением квадратного неравенства являются: $$ t < -\frac{2}{27} \quad \text{или} \quad t > \frac{1}{9} $$ Так как $t = 3^{\lg x} > 0$ при всех допустимых значениях $x$, неравенство $t < -\frac{2}{27}$ не имеет решений. Решаем неравенство $t > \frac{1}{9}$: $$ 3^{\lg x} > \frac{1}{9} $$ $$ 3^{\lg x} > 3^{-2} $$ Так как основание степени $3 > 1$, функция возрастает: $$ \lg x > -2 $$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$: $$ x > 10^{-2} $$ $$ x > 0{,}01 $$ С учётом ОДЗ ($x > 0$) получаем: $x \in (0{,}01; +\infty)$. Ответ: $x \in (0{,}01; +\infty)$.