ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 908

**908.** **1)** $$ 3^{x^2+6x} < 1 $$ Представим правую часть в виде степени с основанием $3$: $1 = 3^0$. $$ 3^{x^2+6x} < 3^0 $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ x^2 + 6x < 0 $$ $$ x(x + 6) < 0 $$ Корни уравнения $x(x + 6) = 0$: $x_1 = -6$, $x_2 = 0$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями: $$ -6 < x < 0 $$ **Ответ:** $x \in (-6; 0)$ --- **2)** $$ \left(\frac{1}{4}\right)^{x-x^2} > \frac{1}{2} $$ Приведём обе части неравенства к основанию $\frac{1}{2}$, учитывая, что $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$: $$ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{x-x^2} > \left(\frac{1}{2}\right)^1 $$ $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{2(x-x^2)} > \left(\frac{1}{2}\right)^1 $$ Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция убывает, и при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ 2(x - x^2) < 1 $$ $$ 2x - 2x^2 < 1 $$ $$ 2x^2 - 2x + 1 > 0 $$ Найдём дискриминант квадратного трёхчлена: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0 $$ Так как старший коэффициент $a = 2 > 0$ и дискриминант $D < 0$, ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$. Следовательно, неравенство выполняется при любых действительных значениях $x$. **Ответ:** $x \in (-\infty; +\infty)$ --- **3)** $$ 4^{x^2+6x+11} < 1 $$ Представим $1$ как $4^0$: $$ 4^{x^2+6x+11} < 4^0 $$ Так как основание $4 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x^2 + 6x + 11 < 0 $$ Выделим полный квадрат в левой части: $$ (x^2 + 6x + 9) + 2 < 0 $$ $$ (x + 3)^2 + 2 < 0 $$ Так как $(x + 3)^2 \geqslant 0$ при любых $x$, то $(x + 3)^2 + 2 \geqslant 2 > 0$. Неравенство не имеет решений. **Ответ:** решений нет (или $\varnothing$) --- **4)** $$ 2^{2x+1} - 21 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+3} + 2 \geqslant 0 $$ Преобразуем степени: - $2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$ - $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x+3} = 2^{-(2x+3)} = 2^{-3} \cdot 2^{-2x} = \frac{1}{8 \cdot 2^{2x}}$ Подставим преобразованные выражения в неравенство: $$ 2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot \frac{1}{8 \cdot 2^{2x}} + 2 \geqslant 0 $$ Пусть $t = 2^{2x}$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$ 2t - \frac{21}{8t} + 2 \geqslant 0 $$ Так как $t > 0$, умножим обе части на $8t > 0$ без изменения знака: $$ 16t^2 + 16t - 21 \geqslant 0 $$ Решим квадратное уравнение $16t^2 + 16t - 21 = 0$: $$ \frac{D}{4} = 8^2 - 16 \cdot (-21) = 64 + 336 = 400 = 20^2 $$ $$ t_1 = \frac{-8 - 20}{16} = -\frac{28}{16} = -\frac{7}{4} $$ $$ t_2 = \frac{-8 + 20}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $$ Решением квадратного неравенства $16t^2 + 16t - 21 \geqslant 0$ являются промежутки: $$ t \leqslant -\frac{7}{4} \quad \text{или} \quad t \geqslant \frac{3}{4} $$ С учётом условия $t > 0$ получаем: $$ t \geqslant \frac{3}{4} $$ Вернёмся к переменной $x$: $$ 2^{2x} \geqslant \frac{3}{4} $$ Так как основание $2 > 1$, логарифмируем обе части по основанию 2: $$ 2x \geqslant \log_2\left(\frac{3}{4}\right) $$ $$ 2x \geqslant \log_2 3 - \log_2 4 $$ $$ 2x \geqslant \log_2 3 - 2 $$ $$ x \geqslant \frac{\log_2 3 - 2}{2} $$ **Ответ:** $x \in \left[\frac{\log_2 3 - 2}{2}; +\infty\right)$ --- **5)** $$ 3^{4-3x} - 35\left(\frac{1}{3}\right)^{2-3x} + 6 \geqslant 0 $$ Преобразуем степени: - $3^{4-3x} = 3^4 \cdot 3^{-3x} = 81 \cdot 3^{-3x}$ - $\left(\frac{1}{3}\right)^{2-3x} = 3^{-(2-3x)} = 3^{3x-2} = 3^{-2} \cdot 3^{3x} = \frac{1}{9} \cdot 3^{3x}$ Получаем неравенство: $$ 81 \cdot 3^{-3x} - \frac{35}{9} \cdot 3^{3x} + 6 \geqslant 0 $$ Пусть $t = 3^{3x}$, тогда $3^{-3x} = \frac{1}{t}$, причём $t > 0$: $$ \frac{81}{t} - \frac{35}{9}t + 6 \geqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $9t > 0$: $$ 729 - 35t^2 + 54t \geqslant 0 $$ $$ 35t^2 - 54t - 729 \leqslant 0 $$ Найдём корни уравнения $35t^2 - 54t - 729 = 0$: $$ \frac{D}{4} = (-27)^2 - 35 \cdot (-729) = 729 + 35 \cdot 729 = 729 \cdot 36 = 27^2 \cdot 6^2 = 162^2 $$ $$ t_1 = \frac{27 - 162}{35} = -\frac{135}{35} = -\frac{27}{7} $$ $$ t_2 = \frac{27 + 162}{35} = \frac{189}{35} = \frac{27}{5} $$ Решение квадратного неравенства: $$ -\frac{27}{7} \leqslant t \leqslant \frac{27}{5} $$ С учётом условия $t > 0$: $$ 0 < t \leqslant \frac{27}{5} $$ Вернёмся к переменной $x$: $$ 3^{3x} \leqslant \frac{27}{5} $$ Так как основание $3 > 1$, функция возрастает: $$ 3x \leqslant \log_3\left(\frac{27}{5}\right) $$ $$ 3x \leqslant \log_3 27 - \log_3 5 $$ $$ 3x \leqslant 3 - \log_3 5 $$ $$ x \leqslant 1 - \frac{1}{3}\log_3 5 $$ **Ответ:** $x \in \left(-\infty; 1 - \frac{1}{3}\log_3 5\right]$