ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 860

1) Для нахождения корней уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ построим график функции $y = \cos x$ и прямую $y = -\frac{1}{2}$ на промежутке $[-\pi; 3\pi]$. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика косинуса с прямой $y = -\frac{1}{2}$. На отрезке $[0; \pi]$ график косинуса пересекает прямую $y = -\frac{1}{2}$ в точке: $$ x = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$ В силу чётности функции косинуса на отрезке $[-\pi; 0]$ графику принадлежит симметричная точка: $$ x = -\frac{2\pi}{3} $$ Так как функция $y = \cos x$ периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$, остальные точки пересечения на отрезке $[\pi; 3\pi]$ получаются смещением найденных точек на $2\pi$ вправо: $$ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} $$ $$ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} $$ Все четыре полученных значения принадлежат отрезку $[-\pi; 3\pi]$. При дальнейшем смещении на $2\pi$ абсциссы точек пересечения выходят за пределы рассматриваемого промежутка: $-\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} < -\pi$, а $\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$. Ответ к пункту 1: $-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$. --- 2) Для нахождения корней уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ рассмотрим график функции $y = \sin x$ и прямую $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi; 3\pi]$. Корни уравнения соответствуют точкам пересечения синусоиды с прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На отрезке $[-\pi; \pi]$ прямая пересекает синусоиду в двух точках: $$ x = -\frac{\pi}{3} $$ $$ x = -\pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{2\pi}{3} $$ Обе точки принадлежат промежутку $[-\pi; 3\pi]$, так как $-\pi \leqslant -\frac{2\pi}{3} < -\frac{\pi}{3} \leqslant 3\pi$. Поскольку период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$, следующие точки пересечения на промежутке $[\pi; 3\pi]$ находим, прибавляя к уже известным значениям $2\pi$: $$ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} $$ $$ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} $$ Проверим границы: следующие корни будут равны $-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi$ и $-\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} < -\pi$, то есть лежат вне заданного отрезка. Ответ к пункту 2: $-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$.