ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 861

1) $\sin 2x = \frac{1}{2}$ Воспользуемся общей формулой для решения уравнения $\sin t = a$: $$ 2x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, имеем: $$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части равенства на $2$: $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- 2) $\cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Воспользуемся формулой корней уравнения $\cos t = a$: $$ 3x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ По формуле $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$ находим: $$ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $$ Тогда получаем: $$ 3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- 3) $2\tan x + 5 = 0$ Выразим значение тангенса: $$ 2\tan x = -5 $$ $$ \tan x = -2{,}5 $$ Используем формулу корней уравнения вида $\tan t = a$: $$ x = \arctan(-2{,}5) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Поскольку функция $\arctan x$ является нечётной, то $\arctan(-2{,}5) = -\arctan 2{,}5$: $$ x = -\arctan 2{,}5 + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\arctan 2{,}5 + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.