ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 857

**1)** Решим уравнение: $$ \log_3(\sin 3x - \sin x) = 2\log_9(17\sin 2x) - 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} \sin 3x - \sin x > 0, \\ \sin 2x > 0. \end{cases} $$ Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифма: $$ 2\log_9(17\sin 2x) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_3(17\sin 2x) - \log_3 3 = \log_3(17\sin 2x) - \log_3 3 = \log_3\left(\frac{17\sin 2x}{3}\right) $$ Уравнение принимает вид: $$ \log_3(\sin 3x - \sin x) = \log_3\left(\frac{17\sin 2x}{3}\right) $$ Потенцируя, получаем: $$ \sin 3x - \sin x = \frac{17}{3}\sin 2x $$ Применим формулу разности синусов $\sin 3x - \sin x = 2\sin x \cos 2x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ 2\sin x \cos 2x = \frac{17}{3} \cdot 2\sin x \cos x $$ $$ 6\sin x \cos 2x - 34\sin x \cos x = 0 $$ $$ 2\sin x (3\cos 2x - 17\cos x) = 0 $$ Из условия ОДЗ $\sin 2x > 0 \implies 2\sin x \cos x > 0$, откуда следует, что $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $2\sin x$: $$ 3\cos 2x - 17\cos x = 0 $$ Выразим $\cos 2x$ через $\cos x$ по формуле $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$ 3(2\cos^2 x - 1) - 17\cos x = 0 $$ $$ 6\cos^2 x - 17\cos x - 3 = 0 $$ Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $$ 6t^2 - 17t - 3 = 0 $$ $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361 = 19^2 $$ $$ t_1 = \frac{17 + 19}{12} = 3 \quad \text{(не подходит, так как } |t| \le 1\text{)} $$ $$ t_2 = \frac{17 - 19}{12} = -\frac{1}{6} $$ Возвращаясь к переменной $x$, имеем: $$ \cos x = -\frac{1}{6} $$ С учетом ОДЗ: Так как $\sin 2x = 2\sin x \cos x > 0$ и $\cos x = -\frac{1}{6} < 0$, то $\sin x < 0$. Значит, угол $x$ принадлежит III координатной четверти. При этом условие $\sin 3x - \sin x = \frac{17}{3}\sin 2x > 0$ выполняется автоматически. В III четверти решения уравнения $\cos x = -\frac{1}{6}$ имеют вид: $$ x = \pi + \arccos\frac{1}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ (или $x = -\pi + \arccos\frac{1}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$). **Ответ к п. 1:** $x = \pi + \arccos\frac{1}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ --- **2)** Решим уравнение: $$ \log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) + 1 = \log_7(7 + 3\cos 4x) $$ ОДЗ уравнения задается условием: $$ \sin x - \cos x > 0 $$ (выражение $7 + 3\cos 4x > 0$ при всех $x$, так как $\cos 4x \ge -1$). Преобразуем левую часть уравнения: $$ \log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) = \log_{7^{1/2}}(\sin x - \cos x) = 2\log_7(\sin x - \cos x) = \log_7((\sin x - \cos x)^2) $$ Так как $1 = \log_7 7$, получаем: $$ \log_7((\sin x - \cos x)^2) + \log_7 7 = \log_7(7(\sin x - \cos x)^2) $$ Тогда исходное уравнение принимает вид: $$ \log_7(7(\sin x - \cos x)^2) = \log_7(7 + 3\cos 4x) $$ Потенцируя: $$ 7(\sin x - \cos x)^2 = 7 + 3\cos 4x $$ Учитывая, что $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x$: $$ 7(1 - \sin 2x) = 7 + 3\cos 4x $$ $$ 7 - 7\sin 2x = 7 + 3\cos 4x $$ $$ -7\sin 2x = 3\cos 4x $$ Выразим $\cos 4x$ через $\sin 2x$, используя формулу $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$: $$ -7\sin 2x = 3(1 - 2\sin^2 2x) $$ $$ 6\sin^2 2x - 7\sin 2x - 3 = 0 $$ Пусть $u = \sin 2x$, где $|u| \le 1$: $$ 6u^2 - 7u - 3 = 0 $$ $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$ $$ u_1 = \frac{7 + 11}{12} = \frac{3}{2} \quad \text{(не подходит, так как } |u| \le 1\text{)} $$ $$ u_2 = \frac{7 - 11}{12} = -\frac{1}{3} $$ Получаем: $$ \sin 2x = -\frac{1}{3} $$ Отберем корни, удовлетворяющие условию ОДЗ $\sin x - \cos x > 0$: $$ \sin x - \cos x > 0 \iff \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > 0 \iff \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > 0 $$ Это означает, что на единичной окружности точка $x$ должна лежать в интервале $\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right)$. Для аргумента $2x$ равенство $\sin 2x = -\frac{1}{3}$ на периоде $[0; 2\pi)$ дает два значения: 1) $2x = \pi + \arcsin\frac{1}{3} \implies x = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3}$. Так как $0 < \arcsin\frac{1}{3} < \frac{\pi}{6}$, то $\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} < \frac{5\pi}{4}$, то есть $x$ лежит во II четверти, где $\sin x > 0$ и $\cos x < 0$, следовательно, $\sin x - \cos x > 0$ (подходит). 2) $2x = 2\pi - \arcsin\frac{1}{3} \implies x = \pi - \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3}$. Так как $\frac{11\pi}{12} < x < \pi$, то $x$ также лежит во II четверти, следовательно, $\sin x - \cos x > 0$ (подходит). При сдвиге на $\pi$ (то есть при $2x + 2\pi$) аргумент $x$ попадает в IV четверть, где $\sin x < 0$ и $\cos x > 0$, поэтому $\sin x - \cos x < 0$ (условие ОДЗ не выполняется). Следовательно, решения повторяются с периодом $2\pi$: $$ x = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pi - \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ к п. 2:** $x = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k, \quad x = \pi - \frac{1}{2}\arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$