ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 863

**1)** $(3 - 4\sin x)(3 + 4\cos x) = 0$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 3 - 4\sin x = 0 \quad \text{или} \quad 3 + 4\cos x = 0 $$ Решим каждое уравнение: 1. $3 - 4\sin x = 0$ $$ 4\sin x = 3 $$ $$ \sin x = \frac{3}{4} $$ Так как $\left|\frac{3}{4}\right| \le 1$, находим корни по формуле: $$ x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. $3 + 4\cos x = 0$ $$ 4\cos x = -3 $$ $$ \cos x = -\frac{3}{4} $$ Так как $\left|-\frac{3}{4}\right| \le 1$, находим корни по формуле: $$ x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Используя свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$, получаем: $$ x = \pm \left(\pi - \arccos\frac{3}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \left(\pi - \arccos\frac{3}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** $(\tan x + 3)(\tan x + 1) = 0$ Область допустимых значений: $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi m, \; m \in \mathbb{Z}$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ \tan x + 3 = 0 \quad \text{или} \quad \tan x + 1 = 0 $$ Решим каждое уравнение: 1. $\tan x + 3 = 0$ $$ \tan x = -3 $$ $$ x = \arctan(-3) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Используя нечётность арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan a$: $$ x = -\arctan 3 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. $\tan x + 1 = 0$ $$ \tan x = -1 $$ $$ x = \arctan(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ. **Ответ:** $x = -\arctan 3 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.