ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 859

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $$ По формуле корней уравнения $\cos t = a$: $$ 3x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $$ 3x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям равенства: $$ 3x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $3$: $$ x = \frac{\pi}{12} \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Рассмотрим два случая: 1) Со знаком «$+$»: $$ x = \frac{3\pi + 4\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Со знаком «$-$»: $$ x = \frac{3\pi - 4\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3} = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Для указания любого положительного корня подставим $k = 0$ в первую серию решений: $$ x = \frac{7\pi}{36} > 0 $$ Проверка: $$ \cos\left(3 \cdot \frac{7\pi}{36} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $$ Равенство верно. Ответ: $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$, $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$; один из положительных корней: $\frac{7\pi}{36}$.