ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 806

**1)** $$ x^2 + ax - b^2 + \frac{a^2}{4} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$ и параметр $a$, чтобы выделить полный квадрат: $$ \left(x^2 + ax + \frac{a^2}{4}\right) - b^2 = 0 $$ Применим формулу квадрата суммы $u^2 + 2uv + v^2 = (u + v)^2$: $$ \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 - b^2 = 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ \left(x + \frac{a}{2} - b\right)\left(x + \frac{a}{2} + b\right) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x + \frac{a}{2} - b = 0 \implies x_1 = -\frac{a}{2} + b$; 2) $x + \frac{a}{2} + b = 0 \implies x_2 = -\frac{a}{2} - b$. Ответ: $x_1 = -\frac{a}{2} + b$, $x_2 = -\frac{a}{2} - b$ (или $x = -\frac{a}{2} \pm b$). --- **2)** $$ \frac{2x}{2x-a} - \frac{x}{2x+a} = \frac{5a^2}{4x^2-a^2} $$ Заметим, что знаменатель дроби в правой части раскладывается на множители: $4x^2 - a^2 = (2x - a)(2x + a)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2x - a \ne 0 \\ 2x + a \ne 0 \end{cases} \iff x \ne \pm \frac{a}{2} $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x - a)(2x + a) \ne 0$: $$ 2x(2x + a) - x(2x - a) = 5a^2 $$ Раскроем скобки: $$ 4x^2 + 2ax - 2x^2 + ax = 5a^2 $$ Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть: $$ 2x^2 + 3ax - 5a^2 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$: $$ D = (3a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5a^2) = 9a^2 + 40a^2 = 49a^2 = (7a)^2 $$ Так как $D \ge 0$ при любых $a$, найдем корни: $$ x_1 = \frac{-3a + 7a}{2 \cdot 2} = \frac{4a}{4} = a $$ $$ x_2 = \frac{-3a - 7a}{2 \cdot 2} = \frac{-10a}{4} = -2,5a $$ Проверим ограничения ОДЗ ($x \ne \pm \frac{a}{2}$): 1. Для корня $x_1 = a$: * $a = \frac{a}{2} \iff \frac{a}{2} = 0 \iff a = 0$; * $a = -\frac{a}{2} \iff \frac{3a}{2} = 0 \iff a = 0$. 2. Для корня $x_2 = -2,5a$: * $-2,5a = \frac{a}{2} \iff -3a = 0 \iff a = 0$; * $-2,5a = -\frac{a}{2} \iff -2a = 0 \iff a = 0$. Таким образом: * Если $a = 0$, то оба найденных значения $x = 0$ не входят в ОДЗ, следовательно, уравнение решений не имеет. * Если $a \ne 0$, то оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: при $a \ne 0$: $x_1 = a$, $x_2 = -2,5a$; при $a = 0$ корней нет.