ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 8

1) $y = \sin x - 5\cos x$ Преобразуем выражение с помощью метода вспомогательного угла. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{a^2 + b^2}$, где $a = 1$, $b = -5$: $$ \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} $$ Тогда функцию можно записать в виде: $$ y = \sqrt{26} \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\sin x - \frac{5}{\sqrt{26}}\cos x\right) $$ Так как $\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26} + \frac{25}{26} = 1$, существует такой угол $\varphi$, что $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{26}}$ и $\sin\varphi = \frac{5}{\sqrt{26}}$. Используя формулу синуса разности $\sin(x - \varphi) = \sin x \cos\varphi - \cos x \sin\varphi$, получаем: $$ y = \sqrt{26}\sin(x - \varphi) $$ Так как для любого аргумента $-1 \le \sin(x - \varphi) \le 1$, умножим все части неравенства на $\sqrt{26}$: $$ -\sqrt{26} \le \sqrt{26}\sin(x - \varphi) \le \sqrt{26} $$ $$ -\sqrt{26} \le y \le \sqrt{26} $$ Ответ: $[-\sqrt{26}; \sqrt{26}]$. --- 2) $y = \sin^2 x - 2\sin x$ Пусть $t = \sin x$. Так как значение синуса лежит в пределах от $-1$ до $1$, получаем $t \in [-1; 1]$. Функция принимает вид квадратичной зависимости: $$ f(t) = t^2 - 2t, \quad t \in [-1; 1] $$ Выделим полный квадрат: $$ f(t) = t^2 - 2t + 1 - 1 = (t - 1)^2 - 1 $$ Графиком функции $f(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $t_0 = 1$. Так как вершина $t_0 = 1$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, наименьшее значение функции достигается в вершине: $$ y_{\text{наим}} = f(1) = (1 - 1)^2 - 1 = -1 $$ Наибольшее значение непрерывной на отрезке квадратичной функции достигается на конце отрезка, наиболее удаленном от вершины, то есть при $t = -1$: $$ y_{\text{наиб}} = f(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3 $$ Таким образом, значения функции непрерывно заполняют отрезок от $-1$ до $3$. Ответ: $[-1; 3]$. --- 3) $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x$ Преобразуем выражение, используя тригонометрические формулы понижения степени и синуса двойного угла: $$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, \quad \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad 2\sin x \cos x = \sin 2x $$ Подставим эти формулы в функцию: $$ y = 10 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} - 3 \cdot (2\sin x \cos x) + 2 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ $$ y = 5(1 + \cos 2x) - 3\sin 2x + (1 - \cos 2x) $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ y = 5 + 5\cos 2x - 3\sin 2x + 1 - \cos 2x $$ $$ y = 6 + 4\cos 2x - 3\sin 2x $$ Преобразуем выражение $4\cos 2x - 3\sin 2x$ методом вспомогательного угла: $$ \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ 4\cos 2x - 3\sin 2x = 5\left(\frac{4}{5}\cos 2x - \frac{3}{5}\sin 2x\right) = 5\cos(2x + \alpha) $$ где $\cos\alpha = \frac{4}{5}$, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Тогда функция принимает вид: $$ y = 6 + 5\cos(2x + \alpha) $$ Так как $-1 \le \cos(2x + \alpha) \le 1$, оценим значение функции: $$ -5 \le 5\cos(2x + \alpha) \le 5 $$ Прибавим $6$ ко всем частям неравенства: $$ 6 - 5 \le 6 + 5\cos(2x + \alpha) \le 6 + 5 $$ $$ 1 \le y \le 11 $$ Ответ: $[1; 11]$. --- 4) $y = \cos^2 x + 3\cos x$ Пусть $t = \cos x$, тогда $t \in [-1; 1]$. Получаем квадратичную функцию: $$ f(t) = t^2 + 3t, \quad t \in [-1; 1] $$ Найдем абсциссу вершины параболы: $$ t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5 $$ Ветви параболы направлены вверх. Так как вершина $t_0 = -1{,}5$ лежит левее рассматриваемого отрезка $[-1; 1]$ ($t_0 < -1$), функция $f(t)$ строго возрастает на всем отрезке $[-1; 1]$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом: $$ y_{\text{наим}} = f(-1) = (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = 1 - 3 = -2 $$ $$ y_{\text{наиб}} = f(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4 $$ Таким образом, множество значений функции — отрезок от $-2$ до $4$. Ответ: $[-2; 4]$.