ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 9

### № 7 **1)** $y = 2\sin^2 x - \cos 2x$ Преобразуем выражение, выразив $\cos 2x$ через $\sin^2 x$: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. $$ y = 2\sin^2 x - (1 - 2\sin^2 x) = 4\sin^2 x - 1 $$ Так как для любого $x$ верно неравенство $0 \le \sin^2 x \le 1$, оценим значение выражения: $$ 0 \le 4\sin^2 x \le 4 $$ $$ -1 \le 4\sin^2 x - 1 \le 3 $$ Ответ: $E(y) = [-1; 3]$. --- **2)** $y = 1 - 8\cos^2 x \sin^2 x$ Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$: $$ y = 1 - 2 \cdot (2\sin x \cos x)^2 = 1 - 2\sin^2 2x $$ По формуле косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 2x = \cos 4x$: $$ y = \cos 4x $$ Так как для любого аргумента косинус принимает значения от $-1$ до $1$: $$ -1 \le \cos 4x \le 1 $$ Ответ: $E(y) = [-1; 1]$. --- **3)** $y = \frac{1 + 8\cos^2 x}{4}$ Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, оценим числитель и дробь: $$ 0 \le 8\cos^2 x \le 8 $$ $$ 1 \le 1 + 8\cos^2 x \le 9 $$ $$ \frac{1}{4} \le \frac{1 + 8\cos^2 x}{4} \le \frac{9}{4} $$ Ответ: $E(y) = [0{,}25; 2{,}25]$. --- **4)** $y = 10 - 9\sin^2 3x$ Так как $0 \le \sin^2 3x \le 1$: $$ 0 \le 9\sin^2 3x \le 9 $$ $$ -9 \le -9\sin^2 3x \le 0 $$ $$ 1 \le 10 - 9\sin^2 3x \le 10 $$ Ответ: $E(y) = [1; 10]$. --- **5)** $y = 1 - 2|\cos x|$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $0 \le |\cos x| \le 1$: $$ 0 \le 2|\cos x| \le 2 $$ $$ -2 \le -2|\cos x| \le 0 $$ $$ -1 \le 1 - 2|\cos x| \le 1 $$ Ответ: $E(y) = [-1; 1]$. --- **6)** $y = \sin x + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ y = 2\sin\left(\frac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2}\right)\cos\left(\frac{x - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)}{2}\right) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) $$ Так как $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$ y = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $$ Так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$: $$ -\sqrt{3} \le \sqrt{3}\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \le \sqrt{3} $$ Ответ: $E(y) = [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$. --- ### № 8 **1)** $y = \sin x - 5\cos x$ Воспользуемся методом вспомогательного угла: $$ y = \sqrt{1^2 + (-5)^2} \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\sin x - \frac{5}{\sqrt{26}}\cos x\right) = \sqrt{26}\sin(x - \varphi) $$ где $\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{26}}$, $\sin \varphi = \frac{5}{\sqrt{26}}$. Так как $-1 \le \sin(x - \varphi) \le 1$: $$ -\sqrt{26} \le \sqrt{26}\sin(x - \varphi) \le \sqrt{26} $$ Ответ: $E(y) = [-\sqrt{26}; \sqrt{26}]$. --- **2)** $y = \sin^2 x - 2\sin x$ Пусть $t = \sin x$, где $t \in [-1; 1]$. Тогда функция принимает вид: $$ f(t) = t^2 - 2t = (t - 1)^2 - 1 $$ Графиком функции $f(t)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке $t_0 = 1 \in [-1; 1]$. Найдем наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-1; 1]$: * $f(1) = (1 - 1)^2 - 1 = -1$ — наименьшее значение; * $f(-1) = (-1 - 1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ — наибольшее значение. Ответ: $E(y) = [-1; 3]$. --- **3)** $y = 10\cos^2 x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2 x$ Применим формулы понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$: $$ y = 10 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} - 3 \cdot 2\sin x \cos x + 2 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} $$ $$ y = 5(1 + \cos 2x) - 3\sin 2x + (1 - \cos 2x) = 6 + 4\cos 2x - 3\sin 2x $$ Для выражения $4\cos 2x - 3\sin 2x$ применим метод вспомогательного угла: $$ 4\cos 2x - 3\sin 2x = \sqrt{4^2 + (-3)^2} \cos(2x + \alpha) = 5\cos(2x + \alpha) $$ Следовательно: $$ -5 \le 4\cos 2x - 3\sin 2x \le 5 $$ Прибавим $6$ ко всем частям неравенства: $$ 1 \le 6 + (4\cos 2x - 3\sin 2x) \le 11 $$ Ответ: $E(y) = [1; 11]$. --- **4)** $y = \cos^2 x + 3\cos x$ Пусть $t = \cos x$, где $t \in [-1; 1]$. Тогда: $$ f(t) = t^2 + 3t = \left(t + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} $$ Вершина параболы находится в точке $t_0 = -1{,}5$, которая лежит левее отрезка $[-1; 1]$. Следовательно, на отрезке $[-1; 1]$ функция $f(t)$ монотонно возрастает: * $y_{\min} = f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2$; * $y_{\max} = f(1) = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$. Ответ: $E(y) = [-2; 4]$. --- ### № 9 **1)** $y = \sin^4 x + \cos^4 x$ Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: $$ y = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $$ Так как $0 \le \sin^2 2x \le 1$: $$ 0 \le \frac{1}{2}\sin^2 2x \le \frac{1}{2} $$ $$ -\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2}\sin^2 2x \le 0 $$ $$ \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x \le 1 $$ Ответ: $E(y) = [0{,}5; 1]$. --- **2)** $y = \sin^6 x + \cos^6 x$ Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ при $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 x$: $$ y = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) $$ Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$: $$ y = 1 \cdot (1 - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x $$ Выразим через $\sin 2x$: $$ y = 1 - 3\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x $$ Так как $0 \le \sin^2 2x \le 1$: $$ 0 \le \frac{3}{4}\sin^2 2x \le \frac{3}{4} $$ $$ -\frac{3}{4} \le -\frac{3}{4}\sin^2 2x \le 0 $$ $$ \frac{1}{4} \le 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x \le 1 $$ Ответ: $E(y) = [0{,}25; 1]$.