ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 6

### Задание 5 **1)** $y = \sqrt{\sin x + 1}$ Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно: $$ \sin x + 1 \ge 0 $$ $$ \sin x \ge -1 $$ Так как для любого действительного числа $x$ верно неравенство $-1 \le \sin x \le 1$, условие $\sin x \ge -1$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. **Ответ:** $x \in \mathbb{R}$. --- **2)** $y = \sqrt{\cos x - 1}$ Функция определена при условии: $$ \cos x - 1 \ge 0 $$ $$ \cos x \ge 1 $$ Так как максимальное значение функции косинуса равно $1$ (то есть $\cos x \le 1$ для всех $x$), неравенство выполняется только тогда, когда $\cos x = 1$: $$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **3)** $y = \lg \sin x$ Логарифмическая функция определена, если выражение под знаком логарифма строго положительно: $$ \sin x > 0 $$ Синус положителен в I и II координатных четвертях: $$ 2\pi k < x < \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}$. --- **4)** $y = \sqrt{2\cos x - 1}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 2\cos x - 1 \ge 0 $$ $$ \cos x \ge \frac{1}{2} $$ Решая простейшее тригонометрическое неравенство с помощью единичной окружности, получаем: $$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \, \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right], \; k \in \mathbb{Z}$. --- **5)** $y = \sqrt{1 - 2\sin x}$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ 1 - 2\sin x \ge 0 $$ $$ -2\sin x \ge -1 $$ $$ \sin x \le \frac{1}{2} $$ Используя единичную окружность, находим дугу, на которой ордината точек не превосходит $\frac{1}{2}$: $$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k; \, \frac{\pi}{6} + 2\pi k\right], \; k \in \mathbb{Z}$. --- **6)** $y = \ln \cos x$ Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $$ \cos x > 0 $$ Косинус положителен в I и IV координатных четвертях: $$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$. --- ### Задание 6 **1)** $y = \frac{1}{2\sin^2 x - \sin x}$ Дробь определена, если её знаменатель отличен от нуля: $$ 2\sin^2 x - \sin x \ne 0 $$ Вынесем $\sin x$ за скобки: $$ \sin x(2\sin x - 1) \ne 0 $$ Это равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x \ne 0, \\ 2\sin x - 1 \ne 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ne \pi k, \\ \sin x \ne \frac{1}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ Решая второе условие: $$ x \ne \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x \ne \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \ne \pi k$, $x \ne \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x \ne \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** $y = \frac{2}{\cos^2 x - \sin^2 x}$ Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ \cos^2 x - \sin^2 x \ne 0 $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$ \cos 2x \ne 0 $$ $$ 2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на 2: $$ x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **3)** $y = \frac{1}{\sin x - \sin 3x}$ Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ \sin x - \sin 3x \ne 0 $$ Используем формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ 2\sin\left(\frac{x - 3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x + 3x}{2}\right) \ne 0 $$ $$ 2\sin(-x)\cos 2x \ne 0 $$ Так как функция синус нечётная, $\sin(-x) = -\sin x$: $$ -2\sin x \cos 2x \ne 0 $$ Произведение не равно нулю, когда ни один из множителей не равен нулю: $$ \begin{cases} \sin x \ne 0, \\ \cos 2x \ne 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ne \pi k, \\ 2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ne \pi k, \\ x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}. \end{cases} $$ **Ответ:** $x \ne \pi k$, $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \; k, n \in \mathbb{Z}$. --- **4)** $y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$ Знаменатель не должен равняться нулю: $$ \cos^3 x + \cos x \ne 0 $$ Разложим на множители: $$ \cos x(\cos^2 x + 1) \ne 0 $$ Так как $\cos^2 x \ge 0$ при любых $x$, выражение $\cos^2 x + 1 \ge 1 > 0$ и никогда не обращается в ноль. Следовательно, ограничение накладывается только на первый множитель: $$ \cos x \ne 0 $$ $$ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.